Записать комплексные числа \(z_{1}\) и \(z_{2}\) в тригонометрической и показательной формах. Найти значения выражений в тригонометрической и показательной формах: \(z_{1}+z_{2}, z_{1}-z_{2}, z_{1} \cdot z_{2}, \frac{z_{1}}{z_{2}}, z_{1}^{2}, \sqrt{z_{1}}\). Z1=-1-i Z2=-2+2i

Давайте начнем с преобразования комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \) в тригонометрическую и показательную формы.

Шаг 1: Преобразование в тригонометрическую форму

Для комплексного числа \( z = a + bi \) тригонометрическая форма записывается как:

\[ z = r(\cos \phi + i \sin \phi) \]

где \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \) (модуль), а \( \phi = \arg(z) \) (угол, аргумент).

Для \( z_{1} = -1 - i \):

1. Находим модуль: \[ r_1 = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

2. Находим аргумент: \[ \phi_1 = \tan^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{3\pi}{4} \quad (\text{т.к. } z_1 \text{ находится в III квадранте, добавляем } \pi) \]

Таким образом, тригонометрическая форма \( z_1 \): \[ z_1 = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \right) \]

Показательная форма: \[ z_1 = \sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{4}} \]

Для \( z_{2} = -2 + 2i \):

1. Находим модуль: \[ r_2 = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

2. Находим аргумент: \[ \phi_2 = \tan^{-1}\left(\frac{2}{-2}\right) = \tan^{-1}(-1) = \frac{3\pi}{4} \quad (\text{т.к. } z_2 \text{ находится во II квадранте, добавляем } \pi) \]

Таким образом, тригонометрическая форма \( z_2 \): \[ z_2 = 2\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right) \]

Показательная форма: \[ z_2 = 2\sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}} \]

Шаг 2: Вычисление выражений

Теперь давайте найдем значения следующих выражений в тригонометрической и показательной формах:

1. Сумма \( z_{1} + z_{2} \): \[ z_1 + z_2 = (-1 - i) + (-2 + 2i) = -3 + i \]

   Модуль: \[ r = \sqrt{(-3)^2 + (1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]

   Аргумент: \[ \phi = \tan^{-1}\left(\frac{1}{-3}\right) \quad (\text{находим угол в II квадранте, добавляем } \pi) \]

   Таким образом, в тригонометрической форме: \[ z_1 + z_2 = \sqrt{10} \left( \cos\left(\phi + \pi\right) + i \sin\left(\phi + \pi\right) \right) \]

   Показательная форма: \[ z_1 + z_2 = \sqrt{10} e^{i(\phi + \pi)} \]

2. Разность \( z_{1} - z_{2} \): \[ z_1 - z_2 = (-1 - i) - (-2 + 2i) = 1 - 3i \]

   Модуль: \[ r = \sqrt{(1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]

   Аргумент: \[ \phi = \tan^{-1}\left(\frac{-3}{1}\right) \]

   В тригонометрической форме: \[ z_1 - z_2 = \sqrt{10} \left( \cos\phi + i \sin\phi \right) \]

   Показательная форма: \[ z_1 - z_2 = \sqrt{10} e^{i\phi} \]

3. Произведение \( z_{1} \cdot z_{2} \): \[ z_1 \cdot z_2 = (-1 - i)(-2 + 2i) = 2 - 2i + 2i + 2 = 4 \]

   В тригонометрической форме: \[ z_1 \cdot z_2 = 4 \left( \cos(0) + i \sin(0) \right) \]

   Показательная форма: \[ z_1 \cdot z_2 = 4 e^{i \cdot 0} = 4 \]

4. Деление \( \frac{z_{1}}{z_{2}} \): \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{-1 - i}{-2 + 2i} \times \frac{-2 - 2i}{-2 - 2i} = \frac{(2 + 2i) + (2 - 2i)}{4 + 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

   В тригонометрической форме: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{2} \left( \cos(0) + i \sin(0) \right) = \frac{1}{2} \]

5. Возведение в квадрат \( z_{1}^{2} \): \[ z_1^2 = (-1 - i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \]

   В тригонометрической форме: \[ z_1^2 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) \]

   Показательная форма: \[ z_1^2 = 2 e^{i\frac{\pi}{2}} \]

6. Квадратный корень \( \sqrt{z_{1}} \): Для нахождения квадратного корня используем формулу: \[ \sqrt{z} = \sqrt{r} \left( \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \right) \]

   Модуль: \[ r = \sqrt{2} \]

   Аргумент: \[ \phi = \frac{5\pi}{4} \Rightarrow \frac{\phi}{2} = \frac{5\pi}{8} \]

   Таким образом, в тригонометрической форме: \[ \sqrt{z_1} = \sqrt[4]{2} \left( \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{8}\right) \right) \]

   Показательная форма: \[ \sqrt{z_1} = \sqrt[4]{2} e^{i\frac{5\pi}{8}} \]

Это основные шаги для преобразования комплексных чисел и выполнения операций с ними. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно углубление в какой-то части, не стесняйтесь спрашивать!