Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см а его гипотенуза равна 37 см найдите площадь этого треугольника

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, когда известны его периметр и гипотенуза, можем воспользоваться следующими шагами:

1. Обозначим стороны треугольника:

   • Пусть катеты равны \(a\) и \(b\).
   • Гипотенуза равна \(c = 37 \, \text{см}\).

2. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: \[ a + b + c = 84 \, \text{см} \] Подставляя значение гипотенузы, получаем: \[ a + b + 37 = 84 \] Из этого уравнения следует: \[ a + b = 84 - 37 = 47 \, \text{см} \]

3. Теперь у нас есть две системы уравнений:

   • \(a + b = 47\)
   • \(a^2 + b^2 = c^2\) (по теореме Пифагора), то есть: \[ a^2 + b^2 = 37^2 = 1369 \]

4. Мы можем выразить \(b\) через \(a\): \[ b = 47 - a \]

5. Подставляем выражение для \(b\) в уравнение Пифагора: \[ a^2 + (47 - a)^2 = 1369 \] Раскрываем скобки: \[ a^2 + (47^2 - 94a + a^2) = 1369 \] Это упрощается до: \[ 2a^2 - 94a + 2209 = 1369 \] Переместим всё на одну сторону: \[ 2a^2 - 94a + 840 = 0 \]

6. Упрощаем это уравнение, деля на 2: \[ a^2 - 47a + 420 = 0 \]

7. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420 = 2209 - 1680 = 529 \]

8. Находим корни уравнения: \[ a = \frac{47 \pm \sqrt{529}}{2} \] Так как \(\sqrt{529} = 23\): \[ a = \frac{47 \pm 23}{2} \] Это дает два решения: \[ a_1 = \frac{70}{2} = 35 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{24}{2} = 12 \]

9. Теперь находим \(b\) для каждого из значений \(a\):

   • Если \(a = 35\), тогда \(b = 47 - 35 = 12\).
   • Если \(a = 12\), тогда \(b = 47 - 12 = 35\).

10. Площадь прямоугольного треугольника находится по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = \frac{420}{2} = 210 \, \text{см}^2 \]

Итак, площадь прямоугольного треугольника равна 210 см².