Lim x->2 (5-2x)^(1/(x²-x-2))
Чтобы найти предел \(\lim_{x \to 2} (5 - 2x)^{\frac{1}{x^2 - x - 2}}\), начнём с анализа выражения.
Исследуем функцию на приближении к пределу: Когда \(x\) стремится к 2, подставим это значение в функцию: \[ 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1. \] Таким образом, основание \(5 - 2x\) стремится к 1.
Исследуем степень: Теперь найдем, что происходит со степенью \(\frac{1}{x^2 - x - 2}\). Подставим \(x = 2\): \[ x^2 - x - 2 = 2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0. \] Таким образом, степень стремится к бесконечности, а основание стремится к 1. Это приводит нас к неопределенности \(1^\infty\).
Используем логарифмическое преобразование: Для решения неопределенности \(1^\infty\) удобно взять натуральный логарифм: \[ y = (5 - 2x)^{\frac{1}{x^2 - x - 2}}. \] Тогда \[ \ln y = \frac{1}{x^2 - x - 2} \ln(5 - 2x). \]
Вычисляем предел: Рассмотрим предел: \[ \lim_{x \to 2} \ln y = \lim_{x \to 2} \frac{\ln(5 - 2x)}{x^2 - x - 2}. \] Поскольку и числитель, и знаменатель стремятся к 0, применим правило Лопиталя: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\ln(5 - 2x)}{x^2 - x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{-\frac{2}{5 - 2x}}{2x - 1} = \lim_{x \to 2} \frac{-2}{(5 - 2x)(2x - 1)}. \] Подставим \(x = 2\): \[ \frac{-2}{(5 - 4)(4 - 1)} = \frac{-2}{1 \cdot 3} = -\frac{2}{3}. \]
Возвращаемся к \(y\): Таким образом, \[ \ln y \to -\frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad y \to e^{-\frac{2}{3}}. \]
Таким образом, предел оригинальной функции равен: \[ \lim_{x \to 2} (5 - 2x)^{\frac{1}{x^2 - x - 2}} = e^{-\frac{2}{3}}. \]
Это и будет окончательный ответ.
