Дана матрица А = ( 3 1) (-1 2) (0 3) найти матрицу Ат*А

Чтобы найти матрицу \( A^T \cdot A \), сначала необходимо определить транспонированную матрицу \( A^T \) и затем перемножить её на матрицу \( A \).

Дана матрица: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]

1. Найдём транспонированную матрицу \( A^T \). Транспонированная матрица получается путём замены строк на столбцы:

\[ A^T = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]

2. Теперь перемножим матрицы \( A^T \) и \( A \). Для этого используем формулу для произведения матриц, где элемент на позиции \( i,j \) в результате равен скалярному произведению \( i \)-й строки первой матрицы и \( j \)-го столбца второй матрицы.

\[ A^T \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]

Произведём умножение:

• Элемент (1,1): \[ 3 \cdot 3 + (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = 9 + 1 + 0 = 10 \]

• Элемент (1,2): \[ 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 3 = 3 - 2 + 0 = 1 \]

• Элемент (2,1): \[ 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 = 3 - 2 + 0 = 1 \]

• Элемент (2,2): \[ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 1 + 4 + 9 = 14 \]

Теперь соберём матрицу \( A^T \cdot A \):

\[ A^T \cdot A = \begin{pmatrix} 10 & 1 \\ 1 & 14 \end{pmatrix} \]

Таким образом, матрица \( A^T \cdot A \) равна:

\[ \begin{pmatrix} 10 & 1 \\ 1 & 14 \end{pmatrix} \]