На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD. Точки K K, L L, M M, N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику L M N LMN.
Чтобы решить эту задачу, нам нужно сначала понять, какова площадь треугольника LMN, а затем найти общую площадь прямоугольника ABCD, чтобы определить вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике окажется внутри треугольника.
Определим координаты вершин прямоугольника ABCD:
- Пусть A(0, 0), B(a, 0), C(a, b) и D(0, b), где a и b — длины сторон прямоугольника.
Найдем координаты точек K, L, M и N:
- K — середина стороны AB: K((0 + a) / 2, 0) = K(a/2, 0)
- L — середина стороны BC: L(a, (0 + b) / 2) = L(a, b/2)
- M — середина стороны CD: M((0 + a) / 2, b) = M(a/2, b)
- N — середина стороны DA: N(0, (0 + b) / 2) = N(0, b/2)
Координаты треугольника LMN:
- L(a, b/2)
- M(a/2, b)
- N(0, b/2)
Вычислим площадь треугольника LMN: Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Подставим координаты L, M и N: \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| a(b - b/2) + a/2(b/2 - b/2) + 0(b/2 - b) \right| \] Упрощая, получаем: \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| a \cdot \frac{b}{2} \right| = \frac{ab}{4} \]
Теперь найдем площадь прямоугольника ABCD: Площадь AиBCD равна \( S_{ABCD} = a \cdot b \).
Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике принадлежит треугольнику LMN: Вероятность P рассчитывается как отношение площади треугольника к площади прямоугольника: \[ P = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4} \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника ABCD окажется внутри треугольника LMN, равна \(\frac{1}{4}\) или 25%.
