Система: x^2-x-12<0 |x|≥2
Давайте решим неравенство \(x^2 - x - 12 < 0\) и условия \(|x| \geq 2\) пошагово.
Шаг 1: Решение неравенства \(x^2 - x - 12 < 0\)
Сначала найдем корни уравнения \(x^2 - x - 12 = 0\) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]
Теперь найдем корни:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2} = 4 \]
\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2} = -3 \]
Теперь мы имеем корни \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -3\).
Следующий шаг — определить интервалы, в которых неравенство выполняется. Разделим числовую ось на три интервалы:
- \( (-\infty, -3) \)
- \( (-3, 4) \)
- \( (4, +\infty) \)
Теперь проверим знак выражения \(x^2 - x - 12\) в каждом из интервалов.
Для интервала \((-∞, -3)\), например, для \(x = -4\): \[ (-4)^2 - (-4) - 12 = 16 + 4 - 12 = 8 \quad (\text{положительное}) \]
Для интервала \((-3, 4)\), например, для \(x = 0\): \[ 0^2 - 0 - 12 = -12 \quad (\text{отрицательное}) \]
Для интервала \((4, +∞)\), например, для \(x = 5\): \[ 5^2 - 5 - 12 = 25 - 5 - 12 = 8 \quad (\text{положительное}) \]
Таким образом, \(x^2 - x - 12 < 0\) выполняется на интервале \((-3, 4)\).
Шаг 2: Условия \(|x| \geq 2\)
Теперь рассмотрим условие \(|x| \geq 2\). Это условие означает два интервала:
- \(x \leq -2\)
- \(x \geq 2\)
Шаг 3: Пересечение интервалов
Теперь нужно найти пересечение интервалов, полученных из двух условий.
Интервал \((-3, 4)\) и условие \(x \leq -2\): \[ (-3, -2] \quad (\text{пересечение}) \]
Интервал \((-3, 4)\) и условие \(x \geq 2\): \[ [2, 4) \quad (\text{пересечение}) \]
Ответ:
Таким образом, итоговые решения для системы неравенств:
\[ x \in (-3, -2] \quad \text{или} \quad x \in [2, 4) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!
