Написать уравнение прямой, проходящей через центр окружности (x-8)^2+(y+1)^2=4 и вершину параболы y=-2x^2+1
Чтобы написать уравнение прямой, проходящей через центр окружности и вершину параболы, сначала найдем необходимые координаты.
Исходные данные окружности: Уравнение окружности имеет вид \((x-8)^2+(y+1)^2=4\). Центр окружности находится в точке \((8, -1)\), а радиус равен \(2\) (поскольку \(\sqrt{4} = 2\)).
Исходные данные параболы: Уравнение параболы имеет вид \(y=-2x^2+1\). Чтобы найти вершину параболы, используем формулу для координат вершины: \(x_{в} = -\frac{b}{2a}\), где \(a = -2\) и \(b = 0\). Таким образом:
\[ x_{в} = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0 \] Подставляя это значение в уравнение параболы, получаем координаты вершины:
\[ y_{в} = -2(0)^2 + 1 = 1 \]
Вершина параболы находится в точке \((0, 1)\).
Теперь у нас есть две точки:
- Центр окружности: \(A(8, -1)\)
- Вершина параболы: \(B(0, 1)\)
Находим угловой коэффицент (наклон) прямой, проходящей через эти две точки. Угловой коэффициент \(k\) можно рассчитать по формуле:
\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - (-1)}{0 - 8} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4} \]
Используем формулу уравнения прямой в виде \(y - y_1 = k(x - x_1)\). Подставляем одну из точек (например, \(A(8, -1)\)):
\[ y - (-1) = -\frac{1}{4}(x - 8) \]
Упрощаем уравнение:
\[ y + 1 = -\frac{1}{4}x + 2 \]
В итоге получаем:
\[ y = -\frac{1}{4}x + 1 \]
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через центр окружности и вершину параболы, будет:
\[ y = -\frac{1}{4}x + 1 \]
