Задача 1. Написать разложение вектора 𝒙 по векторам 𝒂, 𝒃, 𝒄 в случае, если  они образуют базис. 1.1. a = (-2,-8,-7), b= (-6,8,-7), c= (7,-8,-5), x= (-2,-8,7)

Чтобы разложить вектор \(\mathbf{x}\) по векторам \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\), которые образуют базис, мы можем представить вектор \(\mathbf{x}\) в виде линейной комбинации этих векторов. То есть нужно найти такие скаляры \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \), чтобы выполнялось равенство:

\[ \mathbf{x} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b} + \gamma \mathbf{c} \]

Подставим векторы:

\[ (-2, -8, 7) = \alpha(-2, -8, -7) + \beta(-6, 8, -7) + \gamma(7, -8, -5) \]

Это равенство можно записать по компонентам:

1. \(-2 = -2\alpha - 6\beta + 7\gamma\)
2. \(-8 = -8\alpha + 8\beta - 8\gamma\)
3. \(7 = -7\alpha - 7\beta - 5\gamma\)

Теперь у нас есть система из трех линейных уравнений. Решим эту систему поочередно.

Уравнение 2: Упростим второе уравнение:

\[ -8 = -8\alpha + 8\beta - 8\gamma \]

Делим его на -8:

\[ 1 = \alpha - \beta + \gamma \quad (2) \]

Подставим (2) в остальные уравнения.

Уравнение 1: \[ -2 = -2\alpha - 6\beta + 7\gamma \]

Подставим сюда \(\gamma\) из уравнения (2):

\[ \gamma = 1 + \beta - \alpha \]

Подставляем:

\[ -2 = -2\alpha - 6\beta + 7(1 + \beta - \alpha) \] \[ -2 = -2\alpha - 6\beta + 7 + 7\beta - 7\alpha \] \[ -2 = -9\alpha + \beta + 7 \] \[ -9\alpha + \beta = -9 \quad (1) \]

Уравнение 3: \[ 7 = -7\alpha - 7\beta - 5\gamma \]

Тоже подставим сюда \(\gamma\):

\[ 7 = -7\alpha - 7\beta - 5(1 + \beta - \alpha) \] \[ 7 = -7\alpha - 7\beta - 5 - 5\beta + 5\alpha \] \[ 7 + 5 = -2\alpha - 12\beta \] \[ 12 = -2\alpha - 12\beta \] \[ 2\alpha + 12\beta = -12 \quad (3) \]

Теперь у нас есть две уравнения:

1. \( -9\alpha + \beta = -9 \quad (1) \)
2. \( 2\alpha + 12\beta = -12 \quad (3) \)

Решим эту систему. Из уравнения (1) выразим \(\beta\):

\[ \beta = -9 + 9\alpha \]

Подставим это в уравнение (3):

\[ 2\alpha + 12(-9 + 9\alpha) = -12 \] \[ 2\alpha - 108 + 108\alpha = -12 \] \[ 110\alpha = 96 \] \[ \alpha = \frac{96}{110} = \frac{48}{55} \]

Теперь подставим значение \(\alpha\) обратно, чтобы найти \(\beta\):

\[ \beta = -9 + 9\cdot\frac{48}{55} \] \[ \beta = -9 + \frac{432}{55} = \frac{-495 + 432}{55} = \frac{-63}{55} \]

И, наконец, найдем \(\gamma\):

\[ \gamma = 1 + \beta - \alpha = 1 + \left(-\frac{63}{55}\right) - \frac{48}{55} \] \[ \gamma = 1 - \frac{111}{55} = \frac{55 - 111}{55} = \frac{-56}{55} \]

Таким образом, мы получили:

\[ \alpha = \frac{48}{55}, \quad \beta = -\frac{63}{55}, \quad \gamma = -\frac{56}{55} \]

Ответ: вектор \(\mathbf{x}\) раскладывается по векторам \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\), \(\mathbf{c}\) как:

\[ \mathbf{x} = \frac{48}{55} \mathbf{a} - \frac{63}{55} \mathbf{b} - \frac{56}{55} \mathbf{c} \]