На полке со сладостями лежат  2 2 шоколадки с фундуком и  7 7 упаковок разного печенья. Сколькими способами Миша может выбрать  3 3 продукта, если учитывать, что ему обязательно нужна хотя бы одна шоколадка?

Чтобы определить, сколько способов Миша может выбрать 3 продукта, учитывая, что ему нужна хотя бы одна шоколадка, мы можем использовать комбинации.

1. Общее количество сладостей: у нас есть 2 шоколадки и 7 упаковок печенья, итого 9 сладостей.

2. Ситуации выбора: так как Миша должен выбрать как минимум одну шоколадку, мы можем рассмотреть два случая:

   • Случай 1: Миша выбирает 1 шоколадку и 2 упаковки печенья.
   • Случай 2: Миша выбирает 2 шоколадки и 1 упаковку печенья.

Теперь посчитаем количество способов для каждого случая.

Случай 1: 1 шоколадка и 2 печенья

• Выбор 1 шоколадки из 2: \( \binom{2}{1} = 2 \)
• Выбор 2 упаковок печенья из 7: \( \binom{7}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \)

Общее количество способов для случая 1:
\[ 2 \times 21 = 42 \]

Случай 2: 2 шоколадки и 1 печенье

• Выбор 2 шоколадок из 2: \( \binom{2}{2} = 1 \)
• Выбор 1 упаковки печенья из 7: \( \binom{7}{1} = 7 \)

Общее количество способов для случая 2:
\[ 1 \times 7 = 7 \]

Итог

Теперь суммируем оба случая: \[ 42 + 7 = 49 \]

Таким образом, Миша может выбрать 3 продукта 49 способами, если учитывать, что ему обязательно нужна хотя бы одна шоколадка.