Ответы

Давай разберемся с неравенством:

\( \frac{3x}{2x + 9} < 0 \).

Чтобы решить это неравенство, нужно:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ):

   • Знаменатель \(2x + 9\) не должен быть равен нулю, то есть: \(2x + 9 \neq 0\).
   • Решаем: \(2x \neq -9\) или \(x \neq -\frac{9}{2}\).

2. Рассмотреть знак числителя и знаменателя:

   • Числитель \(3x\) меняет знак при \(x = 0\).
   • Знаменатель \(2x + 9\) меняет знак при \(x = -\frac{9}{2}\).

3. Провести анализ на промежутках:

   • Определим точки на числовой прямой: \(-\frac{9}{2}\) и \(0\).
   • Разбиваем всю числовую прямую на промежутки: \((- \infty, -\frac{9}{2})\), \((- \frac{9}{2}, 0)\), \((0, + \infty)\).

4. Знаки в каждом из интервалов:

   • Для \((- \infty, -\frac{9}{2})\): и числитель, и знаменатель отрицательные. Значит, дробь положительна.
   • Для \((- \frac{9}{2}, 0)\): числитель отрицательный, знаменатель положительный. Значит, дробь отрицательна.
   • Для \((0, + \infty)\): и числитель, и знаменатель положительные. Значит, дробь положительна.

5. Вывод:

   • Неравенство выполняется на промежутке \((- \frac{9}{2}, 0)\).

Ответ: \(x \in (-\frac{9}{2}, 0)\).