3cos2x+19cosx+13=0

Чтобы решить уравнение \( 3\cos^2{x} + 19\cos{x} + 13 = 0 \), давайте сначала сделаем замену переменной. Пусть \( y = \cos{x} \). Тогда уравнение принимает вид:

\[ 3y^2 + 19y + 13 = 0. \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac, \]

где \( a = 3 \), \( b = 19 \), \( c = 13 \).

Подставим значения:

\[ D = 19^2 - 4 \cdot 3 \cdot 13 = 361 - 156 = 205. \]

Теперь, когда мы знаем дискриминант, можем найти корни уравнения с помощью формулы:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Подставим значения:

\[ y = \frac{-19 \pm \sqrt{205}}{2 \cdot 3} = \frac{-19 \pm \sqrt{205}}{6}. \]

Это даст нам два значения для \( y \):

1. \( y_1 = \frac{-19 + \sqrt{205}}{6} \),
2. \( y_2 = \frac{-19 - \sqrt{205}}{6}. \)

Теперь найдем, подходит ли каждое из этих значений для \( \cos{x} \), которая принимает значения только в интервале [-1, 1].

После этого, в зависимости от полученных значений \( y \), можно использовать арккосинус для нахождения углов \( x \):

\[ x = \cos^{-1}(y) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\cos^{-1}(y) + 2k\pi, \]

где \( k \) — целое число.

Таким образом, мы можем найти все углы \( x \), соответствующие найденным значениям \( y \).