2. Доказать, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании равны.

Обозначим равнобедренный треугольник \(ABC\) с равными сторонами \(AB = AC\) и углом при основании \( \angle ABC = \angle ACB\). Пусть \(D\) и \(E\) — точки пересечения биссектрис углов \(B\) и \(C\) с основанием \(AC\) и \(AB\) соответственно.

Мы хотим показать, что длины биссектрис \(BD\) и \(CE\) равны, т.е. \(BD = CE\).

1. Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(ACE\).

2. Стороны этих треугольников равны, так как:

   • \(AB = AC\) (по условию равнобедренного треугольника),
   • \(AD = AE\) (поскольку \(D\) и \(E\) - точки на основании, через которые проходят биссектрисы; биссектрисы делят угол в каждую из сторон пропорционально длинам этих сторон).

3. Углы в этих треугольниках:

   • Угол \(ABD\) равен углу \(ACE\), так как это углы, образованные биссектрисами.

Таким образом, мы можем заключить, что: \[ \triangle ABD \cong \triangle ACE \]

4. Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE} \]

Поскольку \(AB = AC\), то: \[ \frac{AB}{AC} = 1 \implies BD = CE \]

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании равны: \[ BD = CE \]