Найти проекцию 2𝑝̄1 − 𝑝̄2 на ось вектора 𝑝̄3. 𝑝̄1 = (7; 3; 0); 𝑝̄2 = (−1; 4; 1); 𝑝̄3 = (−2; 1; −3); 𝑝̄4 = (−29; −1; 6).

Для нахождения проекции вектора \(2\overline{p_1} - \overline{p_2}\) на ось вектора \(\overline{p_3}\), сначала найдем вектор \(2\overline{p_1} - \overline{p_2}\) и затем используем формулу проекции.

1. Вычислим вектор \(2\overline{p_1} - \overline{p_2}\):

\[ \overline{p_1} = (7; 3; 0), \quad \overline{p_2} = (-1; 4; 1) \]

Сначала вычислим \(2\overline{p_1}\):

\[ 2\overline{p_1} = 2 \cdot (7; 3; 0) = (14; 6; 0) \]

Теперь найдем \(2\overline{p_1} - \overline{p_2}\):

\[ 2\overline{p_1} - \overline{p_2} = (14; 6; 0) - (-1; 4; 1) = (14 + 1; 6 - 4; 0 - 1) = (15; 2; -1) \]

Теперь мы имеем вектор \( \overline{v} = (15; 2; -1) \).

2. Вычислим проекцию вектора \(\overline{v}\) на \(\overline{p_3}\):

\[ \overline{p_3} = (-2; 1; -3) \]

Формула проекции вектора \(\overline{v}\) на \(\overline{p_3}\) выглядит следующим образом:

\[ \text{Proj}_{\overline{p_3}} \overline{v} = \frac{\overline{v} \cdot \overline{p_3}}{\overline{p_3} \cdot \overline{p_3}} \overline{p_3} \]

Сначала найдем скалярное произведение \(\overline{v} \cdot \overline{p_3}\):

\[ \overline{v} \cdot \overline{p_3} = (15)(-2) + (2)(1) + (-1)(-3) = -30 + 2 + 3 = -25 \]

Теперь найдем \(\overline{p_3} \cdot \overline{p_3}\):

\[ \overline{p_3} \cdot \overline{p_3} = (-2)^2 + (1)^2 + (-3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14 \]

Теперь можем подставить значения в формулу проекции:

\[ \text{Proj}_{\overline{p_3}} \overline{v} = \frac{-25}{14} \overline{p_3} = \frac{-25}{14} (-2; 1; -3) = \left(\frac{50}{14}; \frac{-25}{14}; \frac{75}{14}\right) \]

В упрощенном виде ответ будет:

\[ \text{Proj}_{\overline{p_3}} \overline{v} = \left(\frac{25}{7}; \frac{-25}{14}; \frac{75}{14}\right) \]

Таким образом, проекция вектора \(2\overline{p_1} - \overline{p_2}\) на ось вектора \(\overline{p_3}\) равна \(\left(\frac{25}{7}; \frac{-25}{14}; \frac{75}{14}\right)\).