Дана функция общих экономических издержек одной фирмы ТС (q) = 0.02 q*(q – 20) 2 + 5*q + 125 Найти - объем постоянных издержек FC - найти функции средних общих издержек АТС, средних переменных издержек AVC, предельных издержек МС - найти оптимальный объем производства и прибыль фирмы, если рыночная цена продукции Р = 20

Давайте разберем вашу задачу поэтапно. У вас есть функция общих экономических издержек фирмы:

\[ TC(q) = 0.02 q(q - 20)^2 + 5q + 125. \]

1. Определение постоянных издержек (FC)

Постоянные издержки — это те издержки, которые не зависят от объема производства. В данном случае это значение, которое остается в функции расходов, когда объем производства \( q = 0 \).

Подставим \( q = 0 \) в функцию общих издержек:

\[ TC(0) = 0.02 \cdot 0 \cdot (0 - 20)^2 + 5 \cdot 0 + 125 = 125. \]

Таким образом, постоянные издержки \( FC = 125 \).

2. Функции средних общих издержек (ATC), средних переменных издержек (AVC) и предельных издержек (MC)

Средние общие издержки (ATC)

Чтобы найти функции средних общих издержек (ATC), разделим общие издержки \( TC \) на объем производства \( q \):

\[ ATC(q) = \frac{TC(q)}{q} = \frac{0.02 q(q - 20)^2 + 5q + 125}{q}. \]

Упростим выражение:

\[ ATC(q) = 0.02 (q - 20)^2 + 5 + \frac{125}{q}. \]

Средние переменные издержки (AVC)

Чтобы найти средние переменные издержки (AVC), нужно вычесть постоянные издержки из общих издержек и разделить на объем производства:

\[ AVC(q) = \frac{TC(q) - FC}{q} = \frac{0.02 q(q - 20)^2 + 5q}{q} = 0.02 (q - 20)^2 + 5. \]

Предельные издержки (MC)

Предельные издержки (MC) — это производная от функции общих издержек по объему производства:

\[ MC(q) = \frac{d(TC)}{dq}. \]

Для этого найдем производную:

1. Вычислим производную от \( 0.02 q(q - 20)^2 \).
2. Используем формулу для производной суммы.

После вычисления:

\[ MC(q) = 0.02[(q - 20)^2 + 2q(q - 20)] + 5, \]

что упрощается до:

\[ MC(q) = 0.02(q^2 - 40q + 400 + 2q^2 - 40q) + 5 = 0.06q^2 - 1.6q + 8 + 5. \]

Таким образом,

\[ MC(q) = 0.06q^2 - 1.6q + 13. \]

3. Оптимальный объем производства и прибыль фирмы при рыночной цене \( P = 20 \)

Оптимальный объем производства — это тот уровень \( q \), при котором предельные издержки равны рыночной цене:

\[ MC(q) = P. \]

Подставляем:

\[ 0.06q^2 - 1.6q + 13 = 20. \]

Решим это уравнение:

\[ 0.06q^2 - 1.6q - 7 = 0. \]

Умножим на \( 100 \), чтобы избавиться от десятичных:

\[ 6q^2 - 160q - 700 = 0. \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = (-160)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-700) = 25600 + 16800 = 42400. \]

Находим корни:

\[ q = \frac{160 \pm \sqrt{42400}}{12}. \]

Вычисление корней даст два значения, среди которых мы выберем положительное.

Теперь, чтобы найти прибыль, используем формулу:

\[ \text{Прибыль} = (P - ATC) \cdot q. \]

Подставив оптимальное значение \( q \) и \( ATC \), вы сможете найти прибыль фирмы.

Я надеюсь, это поможет вам лучше понять функцию издержек и анализировать оптимальное производство! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!