Докажи сочетательный закон для логического сложения, построив таблицу истинности, и определи верную последовательность 0 0 и 1 1 из последнего столбца (сверху вниз): ( A ∨ B ) ∨ C = A ∨ ( B ∨ C ) (A∨B)∨C=A∨(B∨C).
Давайте рассмотрим доказательство сочетательного закона для логического сложения с помощью таблицы истинности. Закон звучит следующим образом:
\[ (A \vee B) \vee C = A \vee (B \vee C) \]
Где \(\vee\) — это логическое сложение (дизъюнкция).
Шаг 1: Создадим таблицу истинности
В таблице истинности мы должны рассмотреть все возможные значения переменных \(A\), \(B\) и \(C\). Эти переменные могут принимать значения 0 (ложь) или 1 (истина). Мы создадим таблицу с 8 строками, так как у нас 3 переменные (\(2^3 = 8\)).
| \(A\) | \(B\) | \(C\) | \(A \vee B\) | \((A \vee B) \vee C\) | \(B \vee C\) | \(A \vee (B \vee C)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Шаг 2: Проанализируем результаты
Теперь сравним значения в столбцах \((A \vee B) \vee C\) и \(A \vee (B \vee C)\):
Для \(A = 0, B = 0, C = 0\):
- \((A \vee B) \vee C = 0\)
- \(A \vee (B \vee C) = 0\)
Для \(A = 0, B = 0, C = 1\):
- \((A \vee B) \vee C = 1\)
- \(A \vee (B \vee C) = 1\)
Для \(A = 0, B = 1, C = 0\):
- \((A \vee B) \vee C = 1\)
- \(A \vee (B \vee C) = 1\)
Для \(A = 0, B = 1, C = 1\):
- \((A \vee B) \vee C = 1\)
- \(A \vee (B \vee C) = 1\)
Для \(A = 1, B = 0, C = 0\):
- \((A \vee B) \vee C = 1\)
- \(A \vee (B \vee C) = 1\)
Для \(A = 1, B = 0, C = 1\):
- \((A \vee B) \vee C = 1\)
- \(A \vee (B \vee C) = 1\)
Для \(A = 1, B = 1, C = 0\):
- \((A \vee B) \vee C = 1\)
- \(A \vee (B \vee C) = 1\)
Для \(A = 1, B = 1, C = 1\):
- \((A \vee B) \vee C = 1\)
- \(A \vee (B \vee C) = 1\)
Вывод
Мы видим, что значения в столбцах \((A \vee B) \vee C\) и \(A \vee (B \vee C)\) совпадают для всех возможных комбинаций \(A\), \(B\) и \(C\). Таким образом, we подтверждаем, что:
\[ (A \vee B) \vee C = A \vee (B \vee C) \]
Теперь, что касается последнего столбца, последовательность значений \(0\) и \(1\) сверху вниз следующая:
- 0
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
Таким образом, вы доказали сочетательный закон логического сложения! Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно объяснение других тем, пожалуйста, дайте знать!
