В прямоугольном треугольнике точка касания вписаной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 3 см Найдите площадь треугольника

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, можно использовать информацию о точке касания вписанной окружности. В этом треугольнике точка касания делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 3 см. Обозначим вершины треугольника как A, B и C, где угол C – прямой. Пусть длина отрезка, который от точки касания до вершины A, равна 5 см, а до вершины B – 3 см.

Длина гипотенузы AB будет равна: \[ AB = AC + BC = 5 \, \text{см} + 3 \, \text{см} = 8 \, \text{см}. \]

Вписанная окружность делит стороны треугольника следующим образом:

• \( AC = s - a = 5 \, \text{см} \)
• \( BC = s - b = 3 \, \text{см} \)

где \( s \) – полупериметр треугольника, а \( a \) и \( b \) – длины сторон, прилегающих к углу C.

Далее можно выразить стороны:

• \( a = AC + BC = 8 \, \text{см} \)
• Стороны треугольника равны \( AC = 5 \, \text{см} \) и \( BC = 3 \, \text{см} \).

Полупериметр \( s \) вычисляется как: \[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 3 + 8}{2} = 8 \, \text{см}. \]

Теперь можно найти радиус вписанной окружности \( r \) с использованием формулы: \[ r = \frac{S}{s}, \] где \( S \) – площадь треугольника.

Площадь треугольника можно также вычислить с помощью формулы: \[ S = \frac{1}{2} ab, \] где \( a \) и \( b \) – длины катетов. В нашем случае: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7.5 \, \text{см}^2. \]

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника равна 7.5 см².