Имеются три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 5 черных, во второй - 5 белых и 4 черных, в третьей - 6 белых шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар.…
Имеются три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 5 черных, во второй - 5 белых и 4 черных, в третьей - 6 белых шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что: а) этот шар окажется белым, б) белый шар вынут из второй урны.
Для начала, давайте определим общее количество шаров в каждой из урн:
- Первая урна: 4 белых + 5 черных = 9 шаров
- Вторая урна: 5 белых + 4 черных = 9 шаров
- Третья урна: 6 белых + 0 черных = 6 шаров
Теперь мы можем рассчитать вероятности.
а) Вероятность того, что выбранный шар окажется белым.
Вероятность выбрать каждую из урн (они одинаково вероятны): \[ P(U1) = P(U2) = P(U3) = \frac{1}{3} \]
Вероятность вынуть белый шар из каждой урны:
- Из первой урны: \[ P(B|U1) = \frac{4}{9} \]
- Из второй урны: \[ P(B|U2) = \frac{5}{9} \]
- Из третьей урны: \[ P(B|U3) = \frac{6}{6} = 1 \]
Используя формулу полной вероятности, найдем вероятность вынуть белый шар: \[ P(B) = P(U1) \cdot P(B|U1) + P(U2) \cdot P(B|U2) + P(U3) \cdot P(B|U3) \] Подставим известные значения: \[ P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{9} + \frac{1}{3} \cdot 1 \] \[ P(B) = \frac{4}{27} + \frac{5}{27} + \frac{1}{3} \] Преобразуем \(\frac{1}{3}\) в знаменатель 27: \[ \frac{1}{3} = \frac{9}{27} \] Теперь можем суммировать: \[ P(B) = \frac{4}{27} + \frac{5}{27} + \frac{9}{27} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3} \]
б) Вероятность того, что белый шар вынут из второй урны.
Используем формулу условной вероятности: \[ P(U2|B) = \frac{P(B|U2) \cdot P(U2)}{P(B)} \]
Вероятность вынуть белый шар из второй урны уже была найдена: \[ P(B|U2) = \frac{5}{9} \]
Подставим всё в формулу: \[ P(U2|B) = \frac{P(B|U2) \cdot P(U2)}{P(B)} = \frac{\frac{5}{9} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \] Сначала умножим дроби в числителе: \[ \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{27} \] Теперь подставим это в выражение: \[ P(U2|B) = \frac{\frac{5}{27}}{\frac{2}{3}} = \frac{5}{27} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{54} = \frac{5}{18} \]
Ответы:
а) Вероятность того, что шар окажется белым: \(\frac{2}{3}\).
б) Вероятность того, что белый шар вынут из второй урны: \(\frac{5}{18}\).
