Одна бригада выполняла ремонт дороги 7 часов, после чего к ней присоединилась другая бригада. Через 2 часа их совместной работы ремонт был завершён. За какое время может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно, если первой для этого требуется на 4 часа больше, чем второй?

Question 1

Задача Задача №2556089

А

Аноним

21 декабря 2024 15:03 · публичный вопрос

А

Аноним 21 декабря 2024 15:03

Одна бригада выполняла ремонт дороги 7 часов, после чего к ней присоединилась другая бригада. Через 2 часа их совместной работы ремонт был завершён. За какое время может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно, если первой для этого требуется на 4 часа больше, чем второй?

Answer

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

Обозначим время, необходимое второй бригаде для ремонта дороги, как \( x \) часов. Тогда первой бригаде потребуется \( x + 4 \) часа для выполнения той же работы.

Работа, выполняемая первой бригадой за 1 час, равна \( \frac{1}{x + 4} \), а работа, выполняемая второй бригадой за 1 час, равна \( \frac{1}{x} \).

Первая бригада работала 7 часов, следовательно, она выполнила за это время: \[ \text{Работа первой бригады} = 7 \cdot \frac{1}{x + 4} = \frac{7}{x + 4}. \]

После этого к ней присоединилась вторая бригада, и они работали вместе еще 2 часа. Совместная работа двух бригад за 1 час будет: \[ \text{Работа обеих бригад за 1 час} = \frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x} = \frac{x + (x + 4)}{x(x + 4)} = \frac{2x + 4}{x(x + 4)}. \]

Следовательно, за 2 часа совместной работы они выполнили: \[ \text{Работа за 2 часа} = 2 \cdot \frac{2x + 4}{x(x + 4)} = \frac{4x + 8}{x(x + 4)}. \]

Теперь мы можем записать уравнение для всей выполненной работы. Вся работа по ремонту дороги равна 1: \[ \frac{7}{x + 4} + \frac{4x + 8}{x(x + 4)} = 1. \]

Сначала домножим все уравнение на \( x(x + 4) \) для устранения дробей: \[ 7x + (4x + 8) = x(x + 4). \]

Упростим выражение: \[ 7x + 4x + 8 = x^2 + 4x. \] \[ 11x + 8 = x^2 + 4x. \]

Переносим все в одну сторону: \[ x^2 - 7x - 8 = 0. \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81. \]

Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 9}{2}. \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения: \[ x_1 = \frac{16}{2} = 8, \] \[ x_2 = \frac{-2}{2} = -1. \]

Поскольку время не может быть отрицательным, принимаем \( x = 8 \). Таким образом, второй бригаде требуется 8 часов для завершения ремонта дороги, а первой: \[ x + 4 = 12 \text{ часов}. \]

Итак, время, необходимое каждой бригаде для самостоятельного ремонта дороги:

Вторая бригада: 8 часов
Первая бригада: 12 часов.

Question 2

Одна бригада выполняла ремонт дороги 7 часов, после чего к ней присоединилась другая бригада. Через 2 часа их совместной работы ремонт был завершён. За какое время может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно, если первой для этого требуется на 4 часа больше, чем второй?

Answer

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом. Обозначим время, необходимое второй бригаде для ремонта дороги, как \( x \) часов. Тогда первой бригаде потребуется \( x + 4 \) часа для выполнения той же работы. Работа, выполняемая первой бригадой за 1 час, равна \( \frac{1}{x + 4} \), а работа, выполняемая второй бригадой за 1 час, равна \( \frac{1}{x} \). Первая бригада работала 7 часов, следовательно, она выполнила за это время: \[ \text{Работа первой бригады} = 7 \cdot \frac{1}{x + 4} = \frac{7}{x + 4}. \] После этого к ней присоединилась вторая бригада, и они работали вместе еще 2 часа. Совместная работа двух бригад за 1 час будет: \[ \text{Работа обеих бригад за 1 час} = \frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x} = \frac{x + (x + 4)}{x(x + 4)} = \frac{2x + 4}{x(x + 4)}. \] Следовательно, за 2 часа совместной работы они выполнили: \[ \text{Работа за 2 часа} = 2 \cdot \frac{2x + 4}{x(x + 4)} = \frac{4x + 8}{x(x + 4)}. \] Теперь мы можем записать уравнение для всей выполненной работы. Вся работа по ремонту дороги равна 1: \[ \frac{7}{x + 4} + \frac{4x + 8}{x(x + 4)} = 1. \] Сначала домножим все уравнение на \( x(x + 4) \) для устранения дробей: \[ 7x + (4x + 8) = x(x + 4). \] Упростим выражение: \[ 7x + 4x + 8 = x^2 + 4x. \] \[ 11x + 8 = x^2 + 4x. \] Переносим все в одну сторону: \[ x^2 - 7x - 8 = 0. \] Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81. \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 9}{2}. \] Таким образом, у нас есть два возможных значения: \[ x_1 = \frac{16}{2} = 8, \] \[ x_2 = \frac{-2}{2} = -1. \] Поскольку время не может быть отрицательным, принимаем \( x = 8 \). Таким образом, второй бригаде требуется 8 часов для завершения ремонта дороги, а первой: \[ x + 4 = 12 \text{ часов}. \] Итак, время, необходимое каждой бригаде для самостоятельного ремонта дороги: - Вторая бригада: 8 часов - Первая бригада: 12 часов.