1. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по законуs = 5t - 0,5t²(м)s = 5t - 0,5t²(м), гдеtt. время движения в секундах. Найдите скорость тела…

Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку и найдем решения.

1. Найдите скорость тела через 2 с.

Дано уравнение пути:
\[ s = 5t - 0.5t^2 \]
Скорость находится как производная пути по времени:
\[ v = \frac{ds}{dt} = 5 - t \]

Теперь подставим \( t = 2 \) секунды:
\[ v(2) = 5 - 2 = 3 \, \text{м/с} \]
Ответ: Скорость через 2 секунды составляет 3 м/с.

2. Найдите скорость и ускорение тела через 5 с.

Дано уравнение пути:
\[ s = t + 0.5t^2 \]
Скорость:
\[ v = \frac{ds}{dt} = 1 + t \]
Ускорение:
\[ a = \frac{dv}{dt} = 1 \]

Теперь подставим \( t = 5 \):
\[ v(5) = 1 + 5 = 6 \, \text{м/с} \]
\[ a = 1 \, \text{м/с}^2 \]
Ответ: Скорость 6 м/с, ускорение 1 м/с².

3. Найдите скорость и ускорение тела через 2 с.

Дано уравнение пути:
\[ s = 0.5t^2 + 3t + 4 \]
Скорость:
\[ v = \frac{ds}{dt} = t + 3 \]
Ускорение:
\[ a = \frac{dv}{dt} = 1 \]

Подставляем \( t = 2 \):
\[ v(2) = 2 + 3 = 5 \, \text{м/с} \]
\[ a = 1 \, \text{м/с}^2 \]
Ответ: Скорость 5 м/с, ускорение 1 м/с².

4. Через сколько секунд тело остановится?

Дано уравнение пути:
\[ s = 12t - 3t^2 \]
Скорость:
\[ v = \frac{ds}{dt} = 12 - 6t \]
При остановке \( v = 0 \):
\[ 12 - 6t = 0 \]
\[ 6t = 12 \]
\[ t = 2 \, \text{с} \]
Ответ: Тело остановится через 2 секунды.

5. Через какое время тело остановится?

Дано уравнение пути:
\[ s = 1 + 4t - t^2 \]
Скорость:
\[ v = \frac{ds}{dt} = 4 - 2t \]
При остановке:
\[ 4 - 2t = 0 \]
\[ 2t = 4 \]
\[ t = 2 \, \text{с} \]
Ответ: Тело остановится через 2 секунды.

6. Найдите время, когда скорость равна 15 м/с, и кинетическую энергию и силу.

Дано уравнение пути:
\[ s = 0.5t^2 + 3t + 2 \]
Скорость:
\[ v = 1t + 3 \]
При \( v = 15 \):
\[ 1t + 3 = 15 \]
\[ t = 12 \, \text{с} \]

Кинетическая энергия:
\[ KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 15^2 = 225 \, \text{Дж} \]

Сила:
\[ F = ma = m \cdot \frac{dv}{dt} = 2 \cdot 1 = 2 \, \text{Н} \]
Ответ: Время 12 секунд, кинетическая энергия 225 Дж, сила 2 Н.

7. Найдите кинетическую энергию через 10 секунд.

Дано уравнение пути:
\[ s = 2t + t - 3 \]
Скорость:
\[ v = 3 \, \text{м/с} \] (производная постоянная)
Кинетическая энергия:
\[ KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \cdot 2.5 \cdot 3^2 = 11.25 \, \text{Дж} \]
Ответ: Кинетическая энергия через 10 секунд составит 11.25 Дж.

8. Найдите абсциссу точки касания.

Дано:
\[ y = -6x - 2 \] и
\[ y = x - 5x^2 + x - 5 \]
Упрощаем вторую функцию:
\[ y = -5x^2 + 2x - 5 \]
Приравниваем:
\[ -6x - 2 = -5x^2 + 2x - 5 \]
\[ 5x^2 - 8x + 3 = 0 \]
Решаем дискриминант:
\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4 \]
Корни:
\[ x_1 = \frac{8 - 2}{10} = 0.6, \quad x_2 = \frac{8 + 2}{10} = 1 \]
Ответ: Абсцисс точки касания: \( x = 0.6 \) и \( x = 1 \).

9. Найдите абсциссу точки касания.

Дано:
\[ y = -6x - 10 \] и
\[ y = x + 4x - 6x - 10 \]
Упрощаем:
\[ y = -6x - 10 \]
Приравниваем и решаем:
\[ -6x - 10 = -6x - 10 \]
Так как уравнения совпадают, найти касательную точку не получится.
Ответ: Ошибка в условиях, касательной нет.

10. Найдите угловой коэффициент касательной.

Дано:
\[ f(x) = 2\cos(x) - 3 \]
Производная:
\[ f'(x) = -2\sin(x) \]
При \( x = 0 \):
\[ f'(0) = -2\sin(0) = 0 \]
Ответ: Угловой коэффициент касательной в точке \( x = 0 \): 0.

11. Найдите тангенс угла наклона касательной.

Дано:
\[ y = -6x \]
При \( x_0 = -1 \):
\[ f'(-1) = -6 \]
Ответ: Тангенс угла наклона касательной: -6.

12. Найдите угловой коэффициент касательной.

Дано:
\[ f(x) = 3x^3 + 2x - 5 \]
Производная:
\[ f'(x) = 9x^2 + 2 \]
При \( x_0 = 2 \):
\[ f'(2) = 9(2^2) + 2 = 36 + 2 = 38 \]
Ответ: Угловой коэффициент касательной в точке \( x_0 = 2 \): 38.

13. Найдите угловой коэффициент касательной.

Дано:
\[ f(x) = x - \ln(x) \]
Производная:
\[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x} \]
При \( x_0 = 3 \):
\[ f'(3) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]
Ответ: Угловой коэффициент касательной в точке \( x_0 = 3 \): \( \frac{2}{3} \).

14. Найдите угловой коэффициент касательной.

Дано:
\[ f(x) = 4\cos(x) + 3 \]
Производная:
\[ f'(x) = -4\sin(x) \]
При \( x_0 = 0 \):
\[ f'(0) = -4\sin(0) = 0 \]
Ответ: Угловой коэффициент касательной в точке \( x_0 = 0 \): 0.

15. Найдите координаты точки функции, где угловой коэффициент равен -5.

Дано:
\[ f(x) = 5 + 4x - 3x^2 \]
Производная:
\[ f'(x) = 4 - 6x \]
Приравниваем к -5:
\[ 4 - 6x = -5 \]
\[ 6x = 9 \]
\[ x = 1.5 \]
Теперь подставим в \( f(x) \):
\[ f(1.5) = 5 + 4(1.5) - 3(1.5)^2 = 5 + 6 - 6.75 = 4.25 \]
Ответ: Координаты точки: \( (1.5, 4.25) \).

16. Найдите координаты точки касания с угловым коэффициентом 9.

Дано:
\[ f(x) = 1 - 5x - x^2 \]
Производная:
\[ f'(x) = -5 - 2x \]
Приравниваем к 9:
\[ -5 - 2x = 9 \]
\[ -2x = 14 \]
\[ x = -7 \]
Находим \( f(-7) \):
\[ f(-7) = 1 + 35 - 49 = -13 \]
Ответ: Координаты точки касания: \( (-7, -13) \).

17. Найдите координаты точек, где угловой коэффициент равен -7.

Дано:
\[ f(x) = 3x^2 + 5x + 6 \]
Производная:
\[ f'(x) = 6x + 5 \]
Приравниваем к -7:
\[ 6x + 5 = -7 \]
\[ 6x = -12 \]
\[ x = -2 \]
Находим \( f(-2) \):
\[ f(-2) = 3(-2)^2 + 5(-2) + 6 = 12 - 10 + 6 = 8 \]
Ответ: Координаты точек: \( (-2, 8) \).

18. Найдите координаты точек, где угловой коэффициент равен 7.

Дано:
\[ f(x) = 2x^2 - x + 1 \]
Производная:
\[ f'(x) = 4x - 1 \]
Приравниваем к 7:
\[ 4x - 1 = 7 \]
\[ 4x = 8 \]
\[ x = 2 \]
Находим \( f(2) \):
\[ f(2) = 2(2)^2 - 2 + 1 = 8 - 2 + 1 = 7 \]
Ответ: Координаты точек: \( (2, 7) \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!