Укажите наименьшее число N такое, что произведение любых N подряд идущих целых чисел делится нацело на 40040

Чтобы найти наименьшее число \( N \), такое что произведение любых \( N \) подряд идущих целых чисел делится нацело на \( 40040 \), сначала нужно разложить \( 40040 \) на простые множители.

Разложение на простые множители \( 40040 \): \[ 40040 = 2^3 \times 5^1 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^1 \]

Теперь нам нужно выяснить, какое количество подряд идущих целых чисел потребуется, чтобы гарантировать наличие всех этих простых множителей в достаточном количестве.

1. Число \( 2^3 \): Чтобы получить хотя бы три фактора 2, нам нужно как минимум 4 последовательных числа, потому что в каждой паре из двух четных чисел мы получаем минимум два множителя 2. Например, из чисел 1, 2, 3, 4 мы получаем \( 4 \) (из 2), \( 2 \) (из 4).

2. Число \( 5^1 \): У нас есть один множитель 5, который присутствует в числах, делящихся на 5. Для наличия хотя бы одного числа, делящегося на 5, достаточно 5 последовательных чисел.

3. Число \( 7^1 \): Аналогично с числом 7, нужно 7 последовательных чисел, чтобы гарантировать наличие хотя бы одного делящегося на 7.

4. Число \( 11^1 \) и \( 13^1 \): Чтобы получить хотя бы один делящийся на 11 и еще один делящийся на 13, будет достаточно 11 и 13 последовательных чисел соответственно.

Наиболее требовательным критерием из приведённых является требование о 13 последовательных целых числах. Это значит, что наименьшее число \( N \), такое что произведение любых \( N \) подряд идущих целых чисел делится на 40040, равно 13.

Таким образом, ответ: \[ N = 13 \]