Дано: трапеция ABCD, BC = 5 см; AD = 17 см; AB = CD = 10 см. Найти: SABCD – ?
Для нахождения площади трапеции ABCD, где BC — это короткое основание, AD — длинное основание, а AB и CD — боковые стороны, мы можем использовать следующую формулу для площади трапеции:
\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]
где \( a \) и \( b \) — длины оснований, а \( h \) — высота трапеции.
Из условия задачи нам известны следующие размеры:
- BC (короткое основание) \( a = 5 \) см
- AD (длинное основание) \( b = 17 \) см
- AB и CD (боковые стороны) \( AB = CD = 10 \) см
Для нахождения высоты \( h \) можем использовать теорему Пифагора, так как проходит перпендикуляр от точек B и C до линии AD. Обозначим точки опускания перпендикуляров как M и N. У нас получится прямоугольный треугольник ABM и CDM.
Для начала найдем длину отрезков AM и DN. Поскольку MN = BC = 5 см, а AD = 17 см, длины AM и DN в сумме дадут:
\[ AM + MN + DN = AD \]
Обозначим \( AM = x \) и \( DN = x \). Тогда:
\[ x + 5 + x = 17 \] \[ 2x + 5 = 17 \] \[ 2x = 12 \] \[ x = 6 \]
Теперь мы получили, что AM и DN равны 6 см. Теперь можем найти высоту \( h \) через один из прямоугольных треугольников, например, ABM:
\[ AB^2 = AM^2 + h^2 \] \[ 10^2 = 6^2 + h^2 \] \[ 100 = 36 + h^2 \] \[ h^2 = 100 - 36 \] \[ h^2 = 64 \] \[ h = 8 \, \text{см} \]
Теперь мы можем подставить все известные величины в формулу для площади трапеции:
\[ S = \frac{(5 + 17) \cdot 8}{2} \] \[ S = \frac{22 \cdot 8}{2} \] \[ S = \frac{176}{2} \] \[ S = 88 \]
Таким образом, площадь трапеции ABCD равна \( SABCD = 88 \, \text{см}^2 \).
