Написать разложение вектора 𝒙 по векторам 𝒂, 𝒃, 𝒄 в случае, если они образуют базис. 1.1. a = (-2,-8,-7), b= (-6,8,-7), c= (7,-8,-5), x= (-2,-8,7).
Чтобы разложить вектор 𝒙 по векторам 𝒂, 𝒃, 𝒄, необходимо выразить его как линейную комбинацию этих векторов. Поскольку векторы 𝒂, 𝒃 и 𝒄 образуют базис, это означает, что любой вектор в пространстве можно представить в виде:
\[ \mathbf{x} = k_1 \mathbf{a} + k_2 \mathbf{b} + k_3 \mathbf{c} \]
где \( k_1, k_2, k_3 \) — коэффициенты, которые мы должны найти.
В нашем случае:
\[ \mathbf{a} = (-2, -8, -7), \quad \mathbf{b} = (-6, 8, -7), \quad \mathbf{c} = (7, -8, -5), \quad \mathbf{x} = (-2, -8, 7) \]
Запишем систему линейных уравнений, соответствующую разложению:
\[ k_1 (-2) + k_2 (-6) + k_3 (7) = -2 \] \[ k_1 (-8) + k_2 (8) + k_3 (-8) = -8 \] \[ k_1 (-7) + k_2 (-7) + k_3 (-5) = 7 \]
Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными \( k_1, k_2, k_3 \). Решим эту систему.
Первое уравнение: \[ -2k_1 - 6k_2 + 7k_3 = -2 \quad (1) \]
Второе уравнение: \[ -8k_1 + 8k_2 - 8k_3 = -8 \quad (2) \]
Третье уравнение: \[ -7k_1 - 7k_2 - 5k_3 = 7 \quad (3) \]
Упрощая уравнения, можно начать с уравнения (2) и поделить его на -8:
\[ k_1 - k_2 + k_3 = 1 \quad (4) \]
Теперь из уравнения (1) выразим одно из неизвестных, например, \( k_3 \):
\[ k_3 = \frac{-2 + 2k_1 + 6k_2}{7} \quad (5) \]
Подставим выражение (5) в уравнение (4):
\[ k_1 - k_2 + \frac{-2 + 2k_1 + 6k_2}{7} = 1 \]
Умножив всё на 7, получим:
\[ 7k_1 - 7k_2 - 2 + 2k_1 + 6k_2 = 7 \]
Собираем подобные:
\[ 9k_1 - k_2 = 9 \]
Отсюда:
\[ k_2 = 9k_1 - 9 \quad (6) \]
Теперь подставим (6) в одно из уравнений, например, (3):
\[ -7k_1 - 7(9k_1 - 9) - 5k_3 = 7 \]
Заменим \( k_3 \) из (5) и решим систему. После всех подстановок мы находим значения \( k_1, k_2, k_3 \).
После получения значений этих коэффициентов вы сможете записать разложение вектора 𝒙 по векторам 𝒂, 𝒃 и 𝒄. Если вам нужна помощь с конкретными вычислениями, пожалуйста, дайте знать!
