В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 17 найди расстояние между прямыми AD и CC1 ​ .

Чтобы найти расстояние между прямыми AD и CC1 в кубе ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра 17, начнем с определения координат точек куба.

1. Координаты вершин куба:

   • A(0, 0, 0)
   • B(17, 0, 0)
   • C(17, 17, 0)
   • D(0, 17, 0)
   • A1(0, 0, 17)
   • B1(17, 0, 17)
   • C1(17, 17, 17)
   • D1(0, 17, 17)

2. Уравнения прямых:

   • Прямая AD соединяет точки A и D. Вектор направления AD можно выразить как: \[ \vec{AD} = D - A = (0, 17, 0) - (0, 0, 0) = (0, 17, 0) \]
   • Она может быть задана в параметрической форме: \[ (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(0, 17, 0), \quad t \in \mathbb{R} \]
   • Прямая CC1 соединяет точки C и C1. Вектор направления CC1: \[ \vec{CC1} = C1 - C = (17, 17, 17) - (17, 17, 0) = (0, 0, 17) \]
   • Параметрическая форма: \[ (x, y, z) = (17, 17, 0) + s(0, 0, 17), \quad s \in \mathbb{R} \]

3. Расстояние между двумя параллельными прямыми: Для нахождения расстояния между этими прямыми, применим формулу: \[ d = \frac{|(\vec{AD} \times \vec{CC1}) \cdot \vec{A-C}|}{|\vec{AD} \times \vec{CC1}|} \] где \(\vec{A-C}\) — вектор, соединяющий точки A и C.

   • \(\vec{AD} = (0, 17, 0)\), \(\vec{CC1} = (0, 0, 17)\), и \(\vec{A-C} = C - A = (17, 17, 0) - (0, 0, 0) = (17, 17, 0)\).

4. Вычисление вектора произведения: \[ \vec{AD} \times \vec{CC1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 17 & 0 \\ 0 & 0 & 17 \end{vmatrix} = (17 \cdot 17) \hat{i} - (0) \hat{j} + (0) \hat{k} = (289, 0, 0) \] Норму этого вектора: \[ |\vec{AD} \times \vec{CC1}| = \sqrt{289^2 + 0^2 + 0^2} = 289 \]

5. Вычисление скалярного произведения: \[ |(\vec{AD} \times \vec{CC1}) \cdot \vec{A-C}| = |(289, 0, 0) \cdot (17, 17, 0)| = 289 \cdot 17 = 4913 \]

6. Расстояние: Подставляя в формулу для расстояния: \[ d = \frac{4913}{289} = 17 \]

Таким образом, расстояние между прямыми AD и CC1 в кубе равняется 17.