Разложение квадратных трехчленов

Разложение квадратного трехчлена — это процесс представления его в виде произведения двух множителей, обычно линейных. Квадратный трехчлен может быть записан в общем виде как:

\[ ax^2 + bx + c, \]

где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты.

Чтобы разложить квадратный трехчлен, можно использовать следующие шаги:

1. Поиск корней

Сначала находим корни уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac. \]

• Если \( D > 0 \), то у уравнения два различных корня.
• Если \( D = 0 \), то у уравнения один корень (кратный).
• Если \( D < 0 \), то у уравнения нет действительных корней, и его нельзя разложить на линейные множители.

2. Расчет корней

Корни находятся по формуле:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}. \]

3. Запись разложения

Если \( D \geq 0 \), можем записать трехчлен в виде:

• Если \( D > 0 \): \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2). \]

• Если \( D = 0 \): \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2. \]

Пример

Рассмотрим трехчлен \( x^2 - 5x + 6 \).

1. Вычисляем дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 > 0. \]

2. Находим корни: \[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3, \] \[ x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2. \]

3. Записываем разложение: \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2). \]

Таким образом, разложение квадратного трехчлена на линейные множители завершено.