Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а)-д). Найти предел функции по правилу Лопиталя в пункте е). 5.1 a) 2 2 4 2 3 lim x x x x    , б) 4 5 1 lim 2 1     x x x x , в) x x x x    2 1 1 lim , г) tg x x x 6 1 cos 2 lim 2 0   , д) x x x x          2 1 2 2 lim , е) lim 𝑥→0 𝑒 2𝑥−1 𝑙𝑛(1+2𝑥) .

Давайте по порядку разберем пределы каждой из предложенных функций.

а) \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 4}{x^2 + 3} \)

Для нахождения предела при \( x \to \infty \) можно разделить числитель и знаменатель на \( x^2 \):

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 4}{x^2 + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} = \frac{1 - 0 + 0}{1 + 0} = 1. \]

Таким образом, предел равен 1.

б) \( \lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 5x + 1}{2 - x} \)

Подставляем \( x = 1 \):

\[ \frac{1^4 - 5 \cdot 1 + 1}{2 - 1} = \frac{1 - 5 + 1}{1} = \frac{-3}{1} = -3. \]

Таким образом, предел равен -3.

в) \( \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \)

Подставляем \( x = 2 \):

\[ \frac{2^3 - 1}{2 - 1} = \frac{8 - 1}{1} = \frac{7}{1} = 7. \]

Значит, предел равен 7.

г) \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(6x)}{\cos(2x) - 1} \)

Сначала упростим дробь. Зная, что при \( x \to 0 \), \( \tan(6x) \approx 6x \) и \( \cos(2x) - 1 \approx -2x^2 \):

\[ \lim_{x \to 0} \frac{6x}{-2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{6}{-2x} = -\infty. \]

Предел равен \(-\infty\).

д) \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2x} \right) \)

Разделим числитель и знаменатель на \( x^2 \):

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1. \]

Таким образом, предел равен 1.

е) Теперь рассчитаем предел по правилу Лопиталя:

\( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{\ln(1 + 2x)} \)

При подстановке \( x = 0 \) получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Применим правило Лопиталя:

Находим производные числителя и знаменателя:

• Производная числителя: \( \frac{d}{dx}(e^{2x} - 1) = 2e^{2x} \).
• Производная знаменателя: \( \frac{d}{dx}(\ln(1 + 2x)) = \frac{2}{1 + 2x} \).

Теперь применим правило Лопиталя:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{\frac{2}{1 + 2x}} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}(1 + 2x)}{2} = \lim_{x \to 0} e^{2x}(1 + 2x). \]

Поскольку \( e^{2x} \to 1 \) и \( 1 + 2x \to 1 \) при \( x \to 0 \), получаем:

\[ \lim_{x \to 0} e^{2x}(1 + 2x) = 1 \cdot 1 = 1. \]

Итак, предел равен 1.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны пояснения к каким-то из шагов, пожалуйста, дайте знать!