Решений неравенства  ( x − 4 ) ( x + 8 ) ( x + 16 ) ≥ 0 (x−4)(x+8)(x+16)≥0. рисунок

Решим неравенство \((x−4)(x+8)(x+16)≥0\).

Первый шаг — найти корни неравенства, приравняв выражение к нулю:

\[ (x - 4) = 0 \implies x = 4, \\ (x + 8) = 0 \implies x = -8, \\ (x + 16) = 0 \implies x = -16. \]

Таким образом, корни неравенства: \(x = -16\), \(x = -8\) и \(x = 4\).

Следующий шаг — определить промежутки, в которых функция меняет знак. Корни делят числовую прямую на следующие интервалы:

1. \((-∞, -16)\)
2. \((-16, -8)\)
3. \((-8, 4)\)
4. \((4, +∞)\)

Теперь проверим знак произведения на каждом из интервалов:

1. Для интервала \((-∞, -16)\): Возьмем, например, \(x = -17\): \[ (-17 - 4)(-17 + 8)(-17 + 16) = (-21)(-9)(-1) < 0. \]

2. Для интервала \((-16, -8)\): Возьмем, например, \(x = -15\): \[ (-15 - 4)(-15 + 8)(-15 + 16) = (-19)(-7)(1) > 0. \]

3. Для интервала \((-8, 4)\): Возьмем, например, \(x = 0\): \[ (0 - 4)(0 + 8)(0 + 16) = (-4)(8)(16) < 0. \]

4. Для интервала \((4, +∞)\): Возьмем, например, \(x = 5\): \[ (5 - 4)(5 + 8)(5 + 16) = (1)(13)(21) > 0. \]

Теперь мы можем собрать результаты:

• На интервале \((-∞, -16)\) функция отрицательна.
• На интервале \((-16, -8)\) функция положительна.
• На интервале \((-8, 4)\) функция отрицательна.
• На интервале \((4, +∞)\) функция положительна.

Не забудьте, что в неравенстве есть знак «≥», что означает, что нули включены в решение. Таким образом, корни \(x = -16\), \(x = -8\) и \(x = 4\) тоже являются решениями.

Итак, окончательное решение неравенства: \[ x \in [-16, -8] \cup [4, +∞). \]

Это означает, что решения находятся в интервалах от -16 до -8 и от 4 и до бесконечности.