Найди область определения функции  y = x ( 4 x + 16 ) ( x + 5 ) y= √x(4x+16)(x+5) .

Чтобы найти область определения функции \( y = \sqrt{x(4x + 16)(x + 5)} \), нужно учесть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

1. Проверим, когда \( x(4x + 16)(x + 5) \geq 0 \).

   Рассмотрим каждое множитель в отдельности:

   • \( x \geq 0 \)
   • \( 4x + 16 \geq 0 \) (это всегда верно для всех \( x \), поскольку \( 4x + 16 \) имеет только положительные значения).
   • \( x + 5 \geq 0 \) означает, что \( x \geq -5 \).

2. Теперь определим, когда произведение всех трех множителей неотрицательно.

   Поскольку \( 4x + 16 \) всегда положительно, нам нужно изучить знаки \( x \) и \( x + 5 \):

   • \( x \) меняет знак в нуле \( x = 0 \).
   • \( x + 5 \) меняет знак в точке \( x = -5 \).

3. Рассмотрим интервалы:

   • Для \( x < -5 \): все множители \( x < 0\) и \( x + 5 < 0 \) (произведение отрицательное).
   • Для \( -5 \leq x < 0 \): \( x + 5 \geq 0 \) и \( x < 0 \) (произведение отрицательное).
   • Для \( x = 0 \): \( y = 0 \).
   • Для \( x > 0 \): все множители положительные (произведение положительное).

4. Обобщение: Таким образом, область определения функции \( y = \sqrt{x(4x + 16)(x + 5)} \) включает все \( x \) от \( 0 \) до \( +\infty \), что записывается как:

\[ [0, +\infty) \]

Это и есть искомая область определения функции. Если вам необходима помощь с другими вопросами, пожалуйста, задавайте!