Контрольная работа за I полугодие 10 класс (базовый уровень) 1. Вычислите: a) 1/3 ^3корень 0,008*27 б) 2^9*3^8/6^7 в) 0,24*10^6/0,6*10^4 2. Найдите значение выражения: a) 5^14a/5^5a при а=1/3 б) ^3корень27x^6y^3 при х = 4, y=0,5 3. Решите уравнение: а) корень15 - 2x= 3: б) x^3 - 6x^2+5x = 0. 4. Решите неравенства: а) (x- 1)(x+2)≤0; б) 2x-5/8-x≥0 5. Найдите корень уравнения: 12/x-1-8/x+1=1 6. Найдите корень уравнения: (x +8)^4 - 5(x + 8)^2 - 36 = 0
Давайте решим вашу контрольную работу по математике шаг за шагом.
Вычислите: a) \( \frac{1}{3} \sqrt[3]{0,008 \cdot 27} \): \[ 0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = \left(\frac{1}{5}\right)^3, \] тогда \( \sqrt[3]{0,008} = \frac{1}{5} \). \[ 27 = 3^3 \Rightarrow \sqrt[3]{27} = 3. \] Теперь, вычисляем: \[ \sqrt[3]{0,008 \cdot 27} = \sqrt[3]{0,008} \cdot \sqrt[3]{27} = \frac{1}{5} \cdot 3 = \frac{3}{5}. \] Теперь подставляем в формулу: \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}. \]
б) \( \frac{2^9 \cdot 3^8}{6^7} \): Заменим \( 6 \) на \( 2 \cdot 3 \): \[ 6^7 = (2 \cdot 3)^7 = 2^7 \cdot 3^7. \] Тогда: \[ \frac{2^9 \cdot 3^8}{2^7 \cdot 3^7} = 2^{9-7} \cdot 3^{8-7} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12. \]
в) \( \frac{0,24 \cdot 10^6}{0,6 \cdot 10^4} \): Упростим: \[ \frac{0,24}{0,6} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5}. \] Для степени 10: \( 10^6 / 10^4 = 10^{6-4} = 10^2 = 100 \). Таким образом: \[ \frac{0,24 \cdot 10^6}{0,6 \cdot 10^4} = \frac{2}{5} \cdot 100 = 40. \]
Найдите значение выражения: а) \( \frac{5^{14a}}{5^{5a}} \) при \( a = \frac{1}{3} \): \[ \frac{5^{14 \cdot \frac{1}{3}}}{5^{5 \cdot \frac{1}{3}}} = 5^{\frac{14}{3} - \frac{5}{3}} = 5^{\frac{9}{3}} = 5^3 = 125. \]
б) \( \sqrt[3]{27x^6y^3} \) при \( x = 4, y = 0,5 \): \[ \sqrt[3]{27 \cdot 4^6 \cdot (0,5)^3} = \sqrt[3]{27 \cdot 4096 \cdot 0,125} = \sqrt[3]{27 \cdot 512} = \sqrt[3]{13824} = 24. \]
Решите уравнение: а) \( \sqrt{15} - 2x = 3 \): \[ -2x = 3 - \sqrt{15} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{15} - 3}{2}. \]
б) \( x^3 - 6x^2 + 5x = 0 \): \[ x(x^2 - 6x + 5) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 6x + 5 = 0. \] Для \( x^2 - 6x + 5 \): \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}. \] Получаем \( x_1 = 5, x_2 = 1 \). Итог: \( x = 0, 1, 5 \).
Решите неравенства: а) \( (x - 1)(x + 2) \leq 0 \): Корни: \( x = 1, -2 \). Заполняем интервалы:
- \( (-\infty, -2) \): знак +
- \( (-2, 1) \): знак -
- \( (1, +\infty) \): знак +
Следовательно, \( -2 \leq x \leq 1 \).
б) \( \frac{2x - 5}{8 - x} \geq 0 \): Нули: \( 2x - 5 = 0 \rightarrow x = \frac{5}{2} \) и \( 8 - x = 0 \rightarrow x = 8 \). Интервалы:
- \( (-\infty, \frac{5}{2}) \): +
- \( (\frac{5}{2}, 8) \): -
- \( (8, +\infty) \): +
Решение: \( x \leq \frac{5}{2} \) или \( x > 8 \).
Найдите корень уравнения: \( \frac{12}{x - 1} - \frac{8}{x + 1} = 1 \): Умножим на \( (x - 1)(x + 1) \): \[ 12(x + 1) - 8(x - 1) = (x - 1)(x + 1). \] Раскрываем скобки: \[ 12x + 12 - 8x + 8 = x^2 - 1 \Rightarrow 4x + 20 = x^2 - 1. \] Приведем к стандартному виду: \[ x^2 - 4x - 21 = 0. \] Дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100. \] Корни: \[ x = \frac{4 \pm 10}{2} \Rightarrow x_1 = 7, x_2 = -3. \]
Найдите корень уравнения: \( (x + 8)^4 - 5(x + 8)^2 - 36 = 0 \): Обозначим \( z = (x + 8)^2 \): \[ z^2 - 5z - 36 = 0. \] Найдем дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169. \] Корни: \[ z = \frac{5 \pm 13}{2} \Rightarrow z_1 = 9, z_2 = -4. \] Для \( z = 9 \): \[ (x + 8)^2 = 9 \Rightarrow x + 8 = 3 \quad \text{или} \quad x + 8 = -3 \Rightarrow x = -5 \quad \text{или} \quad x = -11. \] Для \( z = -4 \) мы не получаем действительных корней.
Таким образом, корни уравнения: \( x = -5 \) и \( x = -11 \).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснение в какой-либо теме, не стесняйтесь спрашивать!
