2. Отрезки AD и ВС пересекаются в точке О. АВ || CD. а) докажите, что АО • ОС = BO • OD; б) найдите АВ, если AD = 28 см, АО = 8 см, CD = 30 см.

На основании условия задачи можем использовать теорему о пропорциональности отрезков, которую можно применить к пересекающимся отрезкам:

а) Доказательство

Если отрезки \( AD \) и \( BC \) пересекаются в точке \( O \) и \( AB \parallel CD \), то по свойствам подобия треугольников, которые образуются при параллельных прямых, справедливо следующее:

\[ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} \]

Перемножив оба члена на \( OC \cdot OD \), получаем:

\[ AO \cdot OD = BO \cdot OC \]

Таким образом, если мы внешние отрезки умножим и переразделим, то получаем:

\[ AO \cdot OC = BO \cdot OD \]

Это завершает доказательство: \( AO \cdot OC = BO \cdot OD \).

б) Нахождение AB

По теореме о пропорциональных отрезках мы имеем:

\[ \frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OC} \]

Из условия известны:

• \( AD = 28 \) см
• \( AO = 8 \) см
• \( CD = 30 \) см

Теперь можем найти \( OC \): \[ OC = AD - AO = 28 \, \text{см} - 8 \, \text{см} = 20 \, \text{см} \]

Теперь подставляем все известные значения в уравнение пропорциональности:

\[ \frac{AB}{30} = \frac{8}{20} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{8}{20} = \frac{2}{5} \]

Теперь подставляем в пропорцию:

\[ \frac{AB}{30} = \frac{2}{5} \]

Переписываем и находим \( AB \):

\[ AB = 30 \cdot \frac{2}{5} = 12 \, \text{см} \]

Таким образом, длина отрезка \( AB \) равна 12 см.