3х²+х-14<0
Чтобы решить неравенство \(3x^2 + x - 14 < 0\), начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \(3x^2 + x - 14 = 0\). Для этого используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 3\), \(b = 1\), \(c = -14\). Подставим значения:
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169 \]
Дискриминант положителен, значит, у нас есть два различных корня, которые можно найти с помощью формулы:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 13}{6} \]
Теперь рассчитываем корни:
- \(x_1 = \frac{-1 + 13}{6} = \frac{12}{6} = 2\)
- \(x_2 = \frac{-1 - 13}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}\)
Теперь у нас есть два корня: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -\frac{7}{3}\). Нам нужно определить знаки выражения \(3x^2 + x - 14\) на интервалах, определяемых этими корнями:
- \((- \infty, -\frac{7}{3})\)
- \((- \frac{7}{3}, 2)\)
- \((2, + \infty)\)
Выберите любое тестовое значение из каждого интервала и подставьте его в неравенство \(3x^2 + x - 14\).
Для интервала \((- \infty, -\frac{7}{3})\), например \(x = -3\): \[ 3(-3)^2 + (-3) - 14 = 27 - 3 - 14 = 10 > 0 \]
Для интервала \((- \frac{7}{3}, 2)\), например \(x = 0\): \[ 3(0)^2 + (0) - 14 = -14 < 0 \]
Для интервала \((2, + \infty)\), например \(x = 3\): \[ 3(3)^2 + (3) - 14 = 27 + 3 - 14 = 16 > 0 \]
Итак, выражение \(3x^2 + x - 14 < 0\) истинно на интервале \((- \frac{7}{3}, 2)\).
Заключение: Неравенство \(3x^2 + x - 14 < 0\) выполняется для \(x \in \left(-\frac{7}{3}, 2\right)\).
