В больницу поступает в среднем 50% больных с заболеванием А, 30% с заболеванием В, 20% с заболеванием С. Вероятность полного выздоровления для каждого заболевания соответственно…

Для решения этой задачи можно использовать теорему Байеса. Настроим обозначения:

• \( A \): событие, что пациент имел заболевание А.
• \( B \): событие, что пациент имел заболевание В.
• \( C \): событие, что пациент имел заболевание С.
• \( D \): событие, что пациент выписан здоровым.

Из условия задачи мы знаем следующие вероятности:

• \( P(A) = 0,5 \) (вероятность заболевания А),
• \( P(B) = 0,3 \) (вероятность заболевания В),
• \( P(C) = 0,2 \) (вероятность заболевания С).

Также известны вероятности полного выздоровления:

• \( P(D|A) = 0,7 \) (вероятность выздоровления при заболевании А),
• \( P(D|B) = 0,8 \) (вероятность выздоровления при заболевании В),
• \( P(D|C) = 0,9 \) (вероятность выздоровления при заболевании С).

Мы хотим найти вероятность того, что пациент страдал заболеванием А, зная, что он выписан здоровым, то есть мы ищем \( P(A|D) \).

Согласно формуле Байеса:

\[ P(A|D) = \frac{P(D|A) \cdot P(A)}{P(D)} \]

Теперь нам нужно найти \( P(D) \), общую вероятность выздоровления. Используем формулу полной вероятности:

\[ P(D) = P(D|A) \cdot P(A) + P(D|B) \cdot P(B) + P(D|C) \cdot P(C) \]

Подставим известные значения:

\[ P(D) = (0,7 \cdot 0,5) + (0,8 \cdot 0,3) + (0,9 \cdot 0,2) \]

Вычисляем:

\[ P(D) = 0,35 + 0,24 + 0,18 = 0,77 \]

Теперь подставим \( P(D) \) в формулу для \( P(A|D) \):

\[ P(A|D) = \frac{P(D|A) \cdot P(A)}{P(D)} = \frac{0,7 \cdot 0,5}{0,77} \]

Вычислим числитель:

\[ 0,7 \cdot 0,5 = 0,35 \]

Теперь найдем \( P(A|D) \):

\[ P(A|D) = \frac{0,35}{0,77} \approx 0,4545 \]

Таким образом, вероятность того, что пациент страдал заболеванием А, равно aproximadamente 0,4545 или 45,45%.