9. Одна из сторон прямоугольника на 11 см меньше другой, а его площадь равна 180 см2. Найдите стороны прямоугольника. 10. Сумма квадратов двух натуральных чисел, одно из которых на 21 больше другого, равна 641. Найдите эти числа.

9. Давайте обозначим более длинную сторону прямоугольника как \( x \) см. Тогда короткая сторона, согласно условию, будет \( x - 11 \) см. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон:

\[ P = x \cdot (x - 11) = 180 \]

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

\[ x^2 - 11x - 180 = 0 \]

Теперь можно использовать формулу решения квадратных уравнений:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \( a = 1 \), \( b = -11 \), \( c = -180 \). Подставляем значения:

\[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 121 + 720 = 841 \]

Теперь находим \( x \):

\[ x = \frac{11 \pm \sqrt{841}}{2} = \frac{11 \pm 29}{2} \]

У нас есть два возможных значения для \( x \):

1. \( x = \frac{40}{2} = 20 \)
2. \( x = \frac{-18}{2} = -9 \) (не подходим, так как сторона не может быть отрицательной)

Таким образом, \( x = 20 \) см. Теперь находим другую сторону:

\[ x - 11 = 20 - 11 = 9 \text{ см} \]

Итак, стороны прямоугольника равны: \( 20 \) см и \( 9 \) см.

10. Обозначим меньшее число как \( x \). В таком случае большее число будет \( x + 21 \). Сумма квадратов этих чисел равна 641:

\[ x^2 + (x + 21)^2 = 641 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + (x^2 + 42x + 441) = 641 \]

Соберем все в одно уравнение:

\[ 2x^2 + 42x + 441 - 641 = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ 2x^2 + 42x - 200 = 0 \]

Теперь делим все на 2:

\[ x^2 + 21x - 100 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = 21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 441 + 400 = 841 \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ x = \frac{-21 \pm \sqrt{841}}{2} = \frac{-21 \pm 29}{2} \]

У нас снова два варианта:

1. \( x = \frac{8}{2} = 4 \)
2. \( x = \frac{-50}{2} = -25 \) (не подходит)

Таким образом, меньшее число \( x = 4 \), а большее число:

\[ x + 21 = 4 + 21 = 25 \]

Таким образом, искомые числа: \( 4 \) и \( 25 \).