Упрости выражение: 2 a + 7 4 a + 12 − a + 1 7 a + 21 4a+12 2a+7 − 7a+21 a+1 .
Чтобы упростить данное выражение, давайте сначала запишем его более аккуратно:
\[ \frac{2a + 7}{4a + 12} - \frac{7a + 21}{a + 1} \]
Теперь упростим каждую дробь.
- Начнем с первой дроби:
\[ \frac{2a + 7}{4a + 12} \]
Заметим, что \(4a + 12 = 4(a + 3)\). Таким образом, первая дробь будет выглядеть так:
\[ \frac{2a + 7}{4(a + 3)} \]
- Теперь упростим вторую дробь:
\[ \frac{7a + 21}{a + 1} \]
Здесь можно выделить общий множитель 7:
\[ 7(a + 3) \]
Таким образом, вторая дробь примет вид:
\[ \frac{7(a + 3)}{a + 1} \]
Теперь мы можем перезаписать основное выражение:
\[ \frac{2a + 7}{4(a + 3)} - \frac{7(a + 3)}{a + 1} \]
Для упрощения нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей будет \(4(a + 3)(a + 1)\).
Теперь запишем каждую дробь с этим общим знаменателем:
- Первая дробь:
\[ \frac{2a + 7}{4(a + 3)} \times \frac{(a + 1)}{(a + 1)} = \frac{(2a + 7)(a + 1)}{4(a + 3)(a + 1)} \]
- Вторая дробь:
\[ \frac{7(a + 3)}{a + 1} \times \frac{4(a + 3)}{4(a + 3)} = \frac{28(a + 3)}{4(a + 3)(a + 1)} \]
Теперь у нас есть:
\[ \frac{(2a + 7)(a + 1) - 28(a + 3)}{4(a + 3)(a + 1)} \]
Упрощаем числитель:
\[ (2a + 7)(a + 1) = 2a^2 + 2a + 7a + 7 = 2a^2 + 9a + 7 \]
Теперь вычтем \(28(a + 3)\):
\[ 28(a + 3) = 28a + 84 \]
Итак, числитель становится:
\[ 2a^2 + 9a + 7 - (28a + 84) = 2a^2 + 9a + 7 - 28a - 84 = 2a^2 - 19a - 77 \]
Итак, выражение становится:
\[ \frac{2a^2 - 19a - 77}{4(a + 3)(a + 1)} \]
Теперь мы можем попытаться разложить числитель, если это возможно. Решаем квадратное уравнение \(2a^2 - 19a - 77\).
Дискриминант \(D = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-77) = 361 + 616 = 977\).
Так как дискриминант больше нуля, у него два действительных корня. Но для упрощения уже можно остановиться на текущем результате.
Таким образом, окончательный ответ будет:
\[ \frac{2a^2 - 19a - 77}{4(a + 3)(a + 1)} \]
