На рисунке АБСД прямоугольник, отрезок CH перпендикулярно BD, сторона AB в 3 раза меньше диагонали . Найдите CH, если BC=20
Давайте разберём задачу шаг за шагом.
Обозначим величины: В прямоугольнике АБСД обозначим его стороны: пусть AB = x и BC = 20. Сторона AB в 3 раза меньше диагонали прямоугольника.
Найдём диагональ: По теореме Пифагора для прямоугольника диагональ (AC или BD) вычисляется по формуле: \[ d = \sqrt{AB^2 + BC^2} \] Подставляем известные значения: \[ d = \sqrt{x^2 + 20^2} = \sqrt{x^2 + 400} \] Поскольку AB = x, то по условию задачи мы знаем, что: \[ x = \frac{1}{3}d \Rightarrow d = 3x \]
Запишем уравнение: Подставляем выражение для диагонали в уравнение: \[ 3x = \sqrt{x^2 + 400} \] Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат для устранения корня: \[ 9x^2 = x^2 + 400 \] Это уравнение можно упростить: \[ 9x^2 - x^2 = 400 \Rightarrow 8x^2 = 400 \] Разделим обе стороны на 8: \[ x^2 = 50 \Rightarrow x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]
Теперь найдем длину CH: Для этого используем свойства прямоугольника. Отрезок CH перпендикулярен BD. В прямоугольнике точка C является вершинной, и можно применить формулу для нахождения высоты из точки на одной стороне, перпендикулярно к диагонали: \[ CH = \frac{AB \cdot BC}{BD} \]
Находим BD: Найдём длину диагонали BD, используя полученное значение x: \[ BD = d = 3x = 3 \cdot 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2} \]
И, наконец, CH: Теперь подставляем все известные значения в формулу: \[ CH = \frac{AB \cdot BC}{BD} = \frac{(5\sqrt{2}) \cdot 20}{15\sqrt{2}} = \frac{100\sqrt{2}}{15\sqrt{2}} = \frac{100}{15} = \frac{20}{3} \]
Таким образом, длина отрезка CH равна \(\frac{20}{3}\) единиц.
