Найти производную функции y= (sin(5x^2-3))/(4sqrt(x) + 1
Чтобы найти производную функции \( y = \frac{\sin(5x^2 - 3)}{4\sqrt{x} + 1} \), мы будем использовать правило дифференцирования дроби, известное как правило Лейбница. Это правило гласит, что если \( y = \frac{u}{v} \), где \( u \) и \( v \) — функции, то производная \( y' \) вычисляется по формуле:
\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
В нашем случае:
- \( u = \sin(5x^2 - 3) \)
- \( v = 4\sqrt{x} + 1 \)
Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \).
1. Находим производную \( u' \):
Для функции \( u = \sin(5x^2 - 3) \) используем цепное правило.
\[ u' = \cos(5x^2 - 3) \cdot (5x^2 - 3)' \]
Теперь найдем производную \( 5x^2 - 3 \):
\[ (5x^2 - 3)' = 10x \]
Таким образом, получаем:
\[ u' = \cos(5x^2 - 3) \cdot 10x \]
2. Находим производную \( v' \):
Для функции \( v = 4\sqrt{x} + 1 \):
\[ v' = 4 \cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) = \frac{2}{\sqrt{x}} \]
3. Подставляем \( u' \) и \( v' \) в формулу производной дроби:
Теперь подставим все в формулу:
\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\left(\cos(5x^2 - 3) \cdot 10x\right)(4\sqrt{x} + 1) - (\sin(5x^2 - 3))\left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}{(4\sqrt{x} + 1)^2} \]
Таким образом, производная функции \( y = \frac{\sin(5x^2 - 3)}{4\sqrt{x} + 1} \) равна:
\[ y' = \frac{10x \cos(5x^2 - 3) (4\sqrt{x} + 1) - \frac{2\sin(5x^2 - 3)}{\sqrt{x}}}{(4\sqrt{x} + 1)^2} \]
Это окончательный ответ. Если есть дополнительные вопросы по этой теме или другим элементам математического анализа, буду рад помочь!
