В годовой контрольной работе 5 5 задач, в каждой из которых 4 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы 2 2 задания. Ваня плохо подготовился к контрольной работе и решил расставить ответы в задачах наугад. В этом случае вероятность успеха составит 𝑝 = 1 4 p= 4 1 . Какова вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать закон распределения вероятности для биномиального эксперимента, поскольку Ваня отвечает на вопросы случайным образом.

Обозначим:

• \( n = 5 \) – общее количество задач,
• \( k \) – количество верных ответов,
• \( p = \frac{1}{4} \) – вероятность правильно ответить на одну задачу,
• \( q = 1 - p = \frac{3}{4} \) – вероятность неправильно ответить на одну задачу.

Ваня не пойдёт на пересдачу, если он ответит правильно на как минимум 2 задания (то есть \( k \geq 2 \)). Для нахождения полной вероятности того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, нужно вычислить суммы вероятностей для \( k = 2 \), \( k = 3 \), \( k = 4 \) и \( k = 5 \).

Общая формула вероятности верного ответа в биномиальном распределении выглядит так:

\[ P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь найдём вероятности для каждого значения \( k \) от 2 до 5.

1. Для \( k = 2 \): \[ P(2) = C(5, 2) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{5-2} \] \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \] \[ P(2) = 10 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 10 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{27}{64} = \frac{270}{1024} \]

2. Для \( k = 3 \): \[ P(3) = C(5, 3) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{5-3} \] \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10 \] \[ P(3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 10 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{9}{16} = \frac{90}{1024} \]

3. Для \( k = 4 \): \[ P(4) = C(5, 4) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{5-4} \] \[ C(5, 4) = 5 \] \[ P(4) = 5 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 5 \cdot \frac{1}{256} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{1024} \]

4. Для \( k = 5 \): \[ P(5) = C(5, 5) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{5-5} \] \[ C(5, 5) = 1 \] \[ P(5) = 1 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 = \frac{1}{1024} \]

Теперь суммируем вероятности:

\[ P(k \geq 2) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = \frac{270}{1024} + \frac{90}{1024} + \frac{15}{1024} + \frac{1}{1024} \] \[ P(k \geq 2) = \frac{270 + 90 + 15 + 1}{1024} = \frac{376}{1024} \approx 0.3672 \]

Таким образом, вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, составляет примерно \( 0.3672 \) или \( 36.72\% \).