Определи свойства параболы y = − 5 x 2 + 30 x + 13 y=−5x 2 +30x+13.
Для определения свойств параболы, заданной уравнением \( y = -5x^2 + 30x + 13 \), нам необходимо изучить несколько важных характеристик.
Форма параболы: Парабола открыта вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (\(-5\)). Это означает, что у нее есть максимум.
Вершина: Чтобы найти координаты вершины параболы, используем формулу для определения \( x \)-координаты вершины: \[ x = -\frac{b}{2a} \] где \( a = -5 \) и \( b = 30 \). Подставляем значения: \[ x = -\frac{30}{2 \cdot -5} = \frac{30}{10} = 3 \] Теперь подставим \( x = 3 \) обратно в уравнение, чтобы найти \( y \)-координату: \[ y = -5(3^2) + 30(3) + 13 = -5(9) + 90 + 13 = -45 + 90 + 13 = 58 \] Таким образом, вершина параболы имеет координаты \( (3, 58) \).
Осев симметрии: Осевой симметрии параболы проходит по вертикальной прямой, которая имеет уравнение \( x = 3 \).
Нахождение нулей функции: Чтобы найти корни (нулевые точки) параболы, решим уравнение: \[ -5x^2 + 30x + 13 = 0 \] Для этого можем использовать дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot (-5) \cdot 13 = 900 + 260 = 1160 \] Корни уравнения находятся по формуле: \[ x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 \pm \sqrt{1160}}{2 \cdot -5} \] Определим значения корней, вычислив \( \sqrt{1160} \) и подставив в формулу.
Направляющая линия: Уравнение направляющей линии можно найти с помощью \( y = k \cdot (x - x_0)^2 + y_0 \), где \((x_0, y_0)\) – это вершина, но в данном случае это может быть не столь критично.
Эти свойства помогут вам лучше понять поведение данной параболы на координатной плоскости. Если вам нужно больше информации о каком-либо из пунктов, просто дайте знать!
