На именины к Серёже пришли его друзья:2 Оли и 2 Пети. Всё пятеро ребят сели за круглым столом. Найдете вероятность того, что именинник сидит между двумя тёзками.
Чтобы найти вероятность того, что Серёжка будет сидеть между двумя тёзками (двумя Петями), мы можем использовать комбинаторный подход.
Всего вариантов рассадки: У нас есть 5 детей (Серёжа, Петя1, Петя2, Оля1 и Оля2). Количество способов разместить 5 детей за круглым столом определяется формулой (n-1)!, где n - количество детей. В нашем случае:
\[ 5-1 = 4 \quad \text{Следовательно,} \quad 4! = 24 \quad \text{разных способа.} \]
Условия для именинника: Теперь давайте определим, сколько размещений существует, в которых Серёжа сидит между двумя Петями. Мы можем рассматривать Серёжу и двух Петей как «блок», который будет занимать три соседних места. Поскольку Петя1 и Петя2 могут поменяться местами, у нас есть 2 варианта (Петя1СерёжаПетя2 или Петя2СерёжаПетя1).
Учесть остальных: После размещения «блока» (Серёжа и два Петя) остаются 2 Оли, которые могут занимать два оставшихся места за столом. Эти 2 Оли также могут располагаться в 2! = 2 способами.
Итого благоприятных исходов: Получаем, что общее количество благоприятных способов разместить детей так, чтобы Серёжа сидел между двумя тёзками:
\[ 2 \quad \text{(перестановки Петей)} \times 2! \quad \text{(перестановки Олей)} = 2 \times 2 = 4. \]
Вероятность: Теперь мы можем найти вероятность того, что Серёжа сидит между двумя Петями:
\[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}. \]
Таким образом, вероятность того, что именинник сидит между двумя тёзками, равна \(\frac{1}{6}\).
