вычислить площадь фигуры ограниченной линиями : у=х²+1; у=0; х=0; х=3.
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нам необходимо рассмотреть функции и определить границы интегрирования.
У нас есть следующие уравнения:
- \( y = x^2 + 1 \) (это парабола, открытая вверх),
- \( y = 0 \) (это горизонтальная ось),
- \( x = 0 \) (это вертикальная ось),
- \( x = 3 \) (это вертикальная линия).
Фигура, ограниченная этими линиями, находится между графиком функции \( y = x^2 + 1 \) и осью \( y = 0 \) в пределах \( x \) от \( 0 \) до \( 3 \).
Для вычисления площади мы воспользуемся определённым интегралом. Площадь \( A \) фигуры может быть найдена по следующей формуле:
\[ A = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \]
где \( f(x) \) — это верхняя функция (в данном случае \( y = x^2 + 1 \)), а \( g(x) \) — это нижняя функция (в данном случае \( y = 0 \)). В нашем случае \( a = 0 \) и \( b = 3 \).
Запишем интеграл:
\[ A = \int_{0}^{3} (x^2 + 1 - 0) \, dx = \int_{0}^{3} (x^2 + 1) \, dx \]
Теперь решим интеграл:
Сначала вычислим интеграл \( \int (x^2 + 1) \, dx \):
\[ \int (x^2 + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x + C \]
Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 3:
\[ A = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} + 3 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) \]
- Вычисляем:
\[ A = \left( \frac{27}{3} + 3 \right) - 0 = 9 + 3 = 12 \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 + 1 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) и \( x = 3 \), равна 12 квадратным единицам.
