-6х²-х+12>0

Чтобы решить неравенство \(-6x^2 - x + 12 > 0\), начнём с превращения его в качественное уравнение, чтобы найти корни.

1. Приведём неравенство к стандартному виду: \[ -6x^2 - x + 12 > 0 \] Мы можем умножить все части неравенства на \(-1\) (при этом меняется знак неравенства): \[ 6x^2 + x - 12 < 0 \]

2. Найдём корни соответствующего квадратного уравнения \(6x^2 + x - 12 = 0\) с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) \] \[ D = 1 + 288 = 289 \]

3. Поскольку дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня: \[ x_1 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-1 - 17}}{12} = \frac{-18}{12} = -1.5 \] \[ x_2 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-1 + 17}}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \]

4. Теперь мы имеем корни \(x_1 = -1.5\) и \(x_2 = \frac{4}{3}\). Следующим шагом определим знаки выражения \(6x^2 + x - 12\) на интервалах, которые задаются этими корнями: \((-\infty, -1.5)\), \((-1.5, \frac{4}{3})\) и \((\frac{4}{3}, \infty)\).

5. Выберем тестовые точки для каждого интервала:

   • Для интервала \((-\infty, -1.5)\), например, \(x = -2\): \[ 6(-2)^2 + (-2) - 12 = 24 - 2 - 12 = 10 > 0 \]
   • Для интервала \((-1.5, \frac{4}{3})\), например, \(x = 0\): \[ 6(0)^2 + 0 - 12 = -12 < 0 \]
   • Для интервала \((\frac{4}{3}, \infty)\), например, \(x = 2\): \[ 6(2)^2 + 2 - 12 = 24 + 2 - 12 = 14 > 0 \]

6. С учетом результата, на каком интервале неравенство выполняется: \(6x^2 + x - 12 < 0\) в интервале \((-1.5, \frac{4}{3})\).

Таким образом, решение неравенства \(-6x^2 - x + 12 > 0\) можно записать как: \[ x \in (-1.5, \frac{4}{3}) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимо объяснить какой-то шаг подробнее, буду рад помочь!