9х^2-6ху+4у2>_0

Чтобы решить неравенство \(9x^2 - 6xy + 4y^2 \geq 0\), начнем с его анализа. Это квадратное неравенство по переменной \(x\).

Сначала перепишем его в стандартной форме:

\[ 9x^2 - 6xy + 4y^2 = 0 \]

Это квадратное уравнение имеет вид \(Ax^2 + Bx + C = 0\), где:

• \(A = 9\)
• \(B = -6y\)
• \(C = 4y^2\)

Теперь мы можем рассмотреть дискриминант \(D\) этого уравнения:

\[ D = B^2 - 4AC = (-6y)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4y^2 \] \[ D = 36y^2 - 144y^2 = -108y^2 \]

Дискриминант \(D\) оказывается отрицательным при всех \(y \neq 0\). Это значит, что квадратное уравнение не имеет действительных корней. Поскольку \(A = 9 > 0\), это указывает на то, что парабола открыта вверх.

Таким образом, выражение \(9x^2 - 6xy + 4y^2\) всегда больше или равно нулю для любых \(x\) и \(y\), кроме случая, когда \(y = 0\). Когда \(y = 0\), неравенство принимает вид:

\[ 9x^2 \geq 0 \]

что тоже верно для всех \(x\).

Таким образом, решение неравенства \(9x^2 - 6xy + 4y^2 \geq 0\) верно для всех значений \(x\) и \(y\).