Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 135 литров она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 76 литров?
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим:
- Скорость первой трубы как \( x \) литров в минуту.
- Скорость второй трубы как \( x + 4 \) литров в минуту (так как первая труба пропускает на 4 литра меньше).
Теперь известно, что первая труба заполняет резервуар объемом 135 литров, а вторая — 76 литров.
Найдем время, необходимое каждой трубе для заполнения резервуара.
- Для первой трубы: \[ t_1 = \frac{135}{x} \]
- Для второй трубы: \[ t_2 = \frac{76}{x + 4} \]
Из условия задачи знаем, что первая труба заполняет резервуар на 5 минут дольше, чем вторая. Получаем уравнение: \[ t_1 = t_2 + 5 \]
Подставляя наши выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \), получаем: \[ \frac{135}{x} = \frac{76}{x + 4} + 5 \]
Умножим обе стороны уравнения на \( x(x + 4) \) для избавления от дробей: \[ 135(x + 4) = 76x + 5x(x + 4) \]
Раскроем скобки: \[ 135x + 540 = 76x + 5x^2 + 20x \]
Объединим все термины: \[ 5x^2 - 39x - 540 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-39)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-540) = 1521 + 10800 = 12321 \]
Найдем корни уравнения с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{39 \pm 111}{10} \]
Это дает две возможности: \[ x_1 = \frac{150}{10} = 15 \] \[ x_2 = \frac{-72}{10} = -7.2 \quad (\text{отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательной}) \]
Итак, скорость первой трубы составляет \( x = 15 \) литров в минуту.
Для проверки:
Скорость второй трубы: \[ x + 4 = 15 + 4 = 19 \text{ литров в минуту} \]
Время заполнения первой трубы: \[ t_1 = \frac{135}{15} = 9 \text{ минут} \]
Время заполнения второй трубы: \[ t_2 = \frac{76}{19} \approx 4 \text{ минуты} \]
Разница во времени: \[ t_1 - t_2 = 9 - 4 = 5 \text{ минут} \]
Таким образом, первая труба пропускает 15 литров воды в минуту.
