f(x)=√(x-1)+2/x^(2)-9

Давайте разберёмся с функцией \( f(x) = \frac{\sqrt{x-1} + 2}{x^2 - 9} \).

1. Определение области определения функции:

   • Чтобы корень \( \sqrt{x-1} \) был определён, необходимо, чтобы \( x-1 \geq 0 \) или \( x \geq 1 \).
   • Знаменатель \( x^2 - 9 \) не должен равняться нулю, поэтому решим уравнение \( x^2 - 9 = 0 \). Это уравнение имеет корни \( x = 3 \) и \( x = -3 \).
   • Таким образом, область определения функции — это все \( x \), удовлетворяющие условиям \( x \geq 1 \) и \( x \neq 3 \).

   В итоге, область определения будет: \( [1, 3) \cup (3, \infty) \).

2. Анализ поведения функции:

   • При \( x = 1 \): \( f(1) = \frac{\sqrt{1-1} + 2}{1^2 - 9} = \frac{0 + 2}{1 - 9} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4} \).
   • При \( x \) немного больше 1, функция будет отрицательной, так как знаменатель остаётся отрицательным.
   • При приближении к 3 с левой стороны, \( f(x) \) будет стремиться к \( -\infty \), потому что знаменатель приближается к нулю и остаётся отрицательным.
   • После 3, значение знаменателя станет положительным, и функция изменит свой знак.

3. График функции:

   • График будет иметь разрыв в \( x=3 \) и подходить к бесконечности как слева, так и справа от этого значения.

Если у вас есть дополнительные вопросы о функции или о других темах, не стесняйтесь спрашивать!