Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий за 15 минут, а первый и третий за 18 минут. За сколько минут эти три насоса наполнять бассейн, работая вместе

Для решения задачи давайте обозначим скорость работы каждого насоса:

• Пусть скорость первого насоса = \( A \) (часть бассейна, которую он наполняет за 1 минуту),
• скорость второго насоса = \( B \),
• скорость третьего насоса = \( C \).

Согласно условию задачи, мы имеем следующие уравнения:

1. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут: \[ A + B = \frac{1}{10} \]

2. Второй и третий насосы наполняют бассейн за 15 минут: \[ B + C = \frac{1}{15} \]

3. Первый и третий насосы наполняют бассейн за 18 минут: \[ A + C = \frac{1}{18} \]

Теперь у нас есть система из трех уравнений. Мы можем выразить одну переменную через другую и затем найти значения всех переменных.

Первый шаг — выразим \( A \), \( B \) и \( C \):

1. Из первого уравнения выражаем \( A \): \[ A = \frac{1}{10} - B \]

2. Подставим \( A \) во второе уравнение: \[ \left( \frac{1}{10} - B \right) + C = \frac{1}{18} \] Отсюда получим: \[ C = \frac{1}{18} - \frac{1}{10} + B \]

3. Измерим второе уравнение: \[ B + C = \frac{1}{15} \]

Теперь подставим выражение для \( C \): \[ B + \left( \frac{1}{18} - \frac{1}{10} + B \right) = \frac{1}{15} \] Упростим: \[ 2B + \frac{1}{18} - \frac{1}{10} = \frac{1}{15} \] Приведем к общему знаменателю \( 180 \): \[ 2B + \frac{10}{180} - \frac{18}{180} = \frac{12}{180} \] Получим: \[ 2B - \frac{8}{180} = \frac{12}{180} \] Это даёт: \[ 2B = \frac{20}{180} \] \[ B = \frac{10}{180} = \frac{1}{18} \]

Теперь найдём \( A \) и \( C \):

• Подставим \( B \) обратно в уравнение для \( A \): \[ A = \frac{1}{10} - \frac{1}{18} \] Приведем к общему знаменателю: \[ A = \frac{9}{90} - \frac{5}{90} = \frac{4}{90} = \frac{2}{45} \]

• Теперь подставим в уравнение для \( C \): \[ C = \frac{1}{15} - B = \frac{1}{15} - \frac{1}{18} \] Приведем к общему знаменателю: \[ C = \frac{12}{180} - \frac{10}{180} = \frac{2}{180} = \frac{1}{90} \]

Теперь у нас есть:

• \( A = \frac{2}{45} \)
• \( B = \frac{1}{18} \)
• \( C = \frac{1}{90} \)

Теперь найдём общий напор \( A + B + C \): \[ A + B + C = \frac{2}{45} + \frac{1}{18} + \frac{1}{90} \] Приведём к общему знаменателю (90): \[ A + B + C = \frac{4}{90} + \frac{5}{90} + \frac{1}{90} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9} \]

Таким образом, три насоса вместе наполняют бассейн за: \[ \text{Время} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9 \text{ минут} \]

Ответ: Все три насоса вместе наполняют бассейн за 9 минут.