Исполнитель КУЗНЕЧИК живёт на числовой оси. Начальное положение КУЗНЕЧИКА – точка 10. Система команд Кузнечика: Вперед 7 – Кузнечик прыгает вперёд на 7 единиц, Назад 4 – Кузнечик прыгает назад на 4 единицы. Какое наименьшее количество раз должна встретиться в программе команда «Назад 4», чтобы Кузнечик оказался в точке 43?

Кузнечик начинает в точке 10 и хочет добраться до точки 43. Мы обозначим количество раз, когда он использует команду «Вперед 7», как \( x \), и количество раз, когда он использует команду «Назад 4», как \( y \).

Каждое использование команды «Вперед 7» увеличивает позицию Кузнечика на 7, а команда «Назад 4» уменьшает её на 4. Мы можем записать уравнение, описывающее положение Кузнечика:

\[ 10 + 7x - 4y = 43 \]

Решим это уравнение:

\[ 7x - 4y = 43 - 10 \] \[ 7x - 4y = 33 \]

Теперь преобразуем это уравнение:

\[ 7x = 33 + 4y \]

Чтобы \( 7x \) было целым, \( 33 + 4y \) должно делиться на 7. Посмотрим, какие значения \( 4y \mod 7 \) могут принимать:

\[ 4y \equiv 0 \mod 7 \rightarrow y = 0, 7, 14, \ldots \] \[ 4y \equiv 1 \mod 7 \rightarrow y = 2, 9, 16, \ldots \] \[ 4y \equiv 2 \mod 7 \rightarrow y = 2, 9, 16, \ldots \] \[ 4y \equiv 3 \mod 7 \rightarrow y = 5, 12, 19, \ldots \] \[ 4y \equiv 4 \mod 7 \rightarrow y = 4, 11, 18, \ldots \] \[ 4y \equiv 5 \mod 7 \rightarrow y = 1, 8, 15, \ldots \] \[ 4y \equiv 6 \mod 7 \rightarrow y = 3, 10, 17, \ldots \]

Теперь используем \( y \) и ищем соответствующее \( x \):

1. Если \( y = 0 \): \[ 7x = 33 \quad (x \text{ нецелое}) \]
2. Если \( y = 1 \): \[ 7x = 37 \quad (x \text{ нецелое}) \]
3. Если \( y = 2 \): \[ 7x = 41 \quad (x \text{ нецелое}) \]
4. Если \( y = 3 \): \[ 7x = 45 \quad (x = 6.42857 \text{ нецелое}) \]
5. Если \( y = 4 \): \[ 7x = 49 \quad (x = 7) \]
6. Если \( y = 5 \): \[ 7x = 53 \quad (x \text{ нецелое}) \]
7. Если \( y = 6 \): \[ 7x = 57 \quad (x = 8.142857 \text{ нецелое}) \]
8. Если \( y = 7 \): \[ 7x = 61 \quad (x \text{ нецелое}) \]
9. Если \( y = 8 \): \[ 7x = 65 \quad (x = 9.285714 \text{ нецелое}) \]
10. Если \( y = 9 \): \[ 7x = 69 \quad (x = 9.8571 \text{ нецелое}) \]

Из анализа видно, что при \( y = 4 \) получается целое значение для \( x = 7 \).

Таким образом, чтобы Кузнечик оказался в точке 43, он должен 4 раза использовать команду «Назад 4» и 7 раз команду «Вперед 7». Поэтому наименьшее количество раз, когда должна встретиться команда «Назад 4», составляет 4.