Объем цилиндра равен 32см². Радиус основания цилиндра уменьшился в 4 раза; высоту цилиндра увеличили в 7 раз. Вычислите объем полученного цилиндра.
Для решения задачи о нахождении объема нового цилиндра, давайте сначала вспомним, как вычисляется объем цилиндра. Объем \( V \) цилиндра рассчитывается по формуле:
\[ V = S \cdot h \]
где \( S \) — площадь основания цилиндра, а \( h \) — высота цилиндра.
Начальные данные: Объем первоначального цилиндра \( V_1 = 32 \, \text{см}^3 \).
Исходные параметры: Обозначим радиус основания цилиндра как \( r \) и высоту как \( h \). Площадь основания цилиндра \( S \) можно выразить как:
\[ S = \pi r^2 \]
Тогда объем можно записать как:
\[ V_1 = S \cdot h = \pi r^2 \cdot h \]
Изменения радиуса и высоты:
- Радиус уменьшился в 4 раза: новый радиус \( r' = \frac{r}{4} \).
- Высота увеличилась в 7 раз: новая высота \( h' = 7h \).
Новый объем цилиндра: Выразим новый объем \( V_2 \):
\[ V_2 = S' \cdot h' = \pi (r')^2 \cdot h' = \pi \left(\frac{r}{4}\right)^2 \cdot 7h \]
Подставим значения:
\[ V_2 = \pi \cdot \frac{r^2}{16} \cdot 7h = \frac{7\pi r^2 h}{16} \]
Теперь мы видим, что:
\[ \pi r^2 h = V_1 = 32 \, \text{см}^3 \]
Следовательно,
\[ V_2 = \frac{7 \times 32}{16} = \frac{224}{16} = 14 \, \text{см}^3 \]
Таким образом, объем нового цилиндра составляет \( 14 \, \text{см}^3 \).
