-2х в2+8х>или=0

Чтобы решить неравенство \(-2x^2 + 8x \geq 0\), начнем с приведения его к стандартному виду.

1. Перепишем неравенство: \[-2x^2 + 8x \geq 0\]

2. Умножим обе части на -1, не забывая при этом изменить знак неравенства: \[2x^2 - 8x \leq 0\]

3. Вынесем общий множитель \(2x\): \[2x(x - 4) \leq 0\]

4. Теперь мы можем найти корни уравнения \(2x(x - 4) = 0\): \[ 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] \[ x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \]

5. Теперь у нас есть два корня: \(x = 0\) и \(x = 4\). Мы можем использовать эти точки, чтобы определить интервалы на числовой прямой, в которых определится знак выражения \(2x(x - 4)\). Разделим числовую прямую на три интервала:

   • \( (-\infty, 0) \)
   • \( (0, 4) \)
   • \( (4, +\infty) \)

6. Проверим знак в каждом интервале:

   • Для интервала \((- \infty, 0)\), например, \(x = -1\): \[ 2(-1)(-1 - 4) = 2(-1)(-5) = 10 > 0 \]
   • Для интервала \((0, 4)\), например, \(x = 1\): \[ 2(1)(1 - 4) = 2(1)(-3) = -6 < 0 \]
   • Для интервала \((4, +\infty)\), например, \(x = 5\): \[ 2(5)(5 - 4) = 2(5)(1) = 10 > 0 \]

7. Теперь мы можем показать, что \(2x(x - 4) \leq 0\) выполняется в интервале \((0, 4)\) и включает концы (так как неравенство нестрогое): \[ x \in [0, 4] \]

Таким образом, решение неравенства \(-2x^2 + 8x \geq 0\) будет: \[ x \in [0, 4] \]