Выполним синтаксический разбор предложения: «В поисках своей невесты королевич Елисей обращается к силам природы: к солнцу, месяцу, ветру».
Слово "В поисках": предлог "в" + существительное "поисках" в предложном падеже. Здесь "поисках" является обстоятельством (где?).
Слово "своей": притяжательное местоимение в родительном падеже (чей?). Оно согласуется с существительным "невесты".
Слово "невесты": существительное в родительном падеже (кого? чего?), является дополнением.
Часть "королевич Елисей": "королевич" — подлежащее (кто?), "Елисей" — приложение, уточняющее подлежащее. Согласованы по падежу и числу (именительный падеж).
Слово "обращается": сказуемое, выраженное глаголом в настоящем времени, 3-м лице, единственном числе.
Слово "к": предлог, который требует использования родительного падежа.
Слова "силам природы": "силы" — существительное в дательном падеже (кому? чему?), "природы" — существительное в родительном падеже, указывающее на принадлежность (чей?).
Часть "к солнцу, месяцу, ветру": здесь находятся дополнения в дательном падеже, которые указывают на обращение (к чему?). Все три существительных (солнцу, месяцу, ветру) стоят в дательном падеже и являются однородными членами предложения.
Таким образом, предложение состоит из основного члена (королевич Елисей обращается) и обстоятельств (где? в поисках своей невесты) и дополнений (к силам природы).