Давайте рассмотрим ваши предложения и исправим их, если необходимо, с учетом правильного использования деепричастий.
Открывая дверь, она громко скрипнула.
- Здесь всё правильно. Смысл предложения ясен: во время открытия двери произошел звук скрипения.
Заканчивая чертёж, у меня сломался карандаш.
- Это предложение требует исправления, так как оно создает неправильную связь между частями. Правильный вариант: "Я заканчивал чертёж, когда у меня сломался карандаш." Здесь деепричастие "заканчивая" неправильно указывает на связь между субъектом и действием.
Разложив игрушки на диване, дети начали какую-то интересную игру.
- Это предложение сформулировано верно. Здесь также имеется четкая связь: дети разложили игрушки и только потом начали играть.
Прочитав рассказ, он показался мне слишком грустным.
- В этом предложении тоже необходимо внести исправления. Правильная форма может быть такой: "Прочитав рассказ, я понял, что он слишком грустный." Или "Рассказ показался мне слишком грустным после того, как я его прочитал." Деепричастие "прочитав" не связано непосредственно с "он", потому что "он" не может читать.
Если вам нужно больше примеров или объяснений по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!