В предложении "На прощание Елизавета дарит Пушкину кольцо-перстень-печатку с сердоликом" присутствует только однородное членение и не содержится причастных или деепричастных оборотов.
Причастные обороты образуются от глаголов и служат для обозначения признака предмета по действию (например, "светящийся", "читающий"). Деепричастные обороты указывают на дополнительные действия, выполняемые одновременно с основным действием (например, "говоря", "читая").
В данном случае, в предложении не отражается ни действие, выполняемое предметом в форме причастия, ни дополнительное действие в форме деепричастия.
Если у вас будут дополнительные примеры или вопросы, смело задавайте!